И.В.Стяжков, 2007 год
"Финансовый менеджмент в страховой компании", 2007, N 2
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ОСАГО
Развитие российского страхового рынка происходит достаточно стремительно, возникают новые виды страховых услуг. Зачастую страховые компании отвечают на появившийся спрос предложением новой услуги. Такой новой услугой является, например, "дополнительное ОСАГО", инициируемое российскими банками. Автор статьи рассматривает весьма острую проблему расчетов тарифов по дополнительному ОСАГО и предлагает апробированную модель расчетов.
Обязательное страхование гражданской ответственности владельцев автотранспортных средств (ОСАГО) проводится в России уже более трех лет. Три года назад никто особенно не задумывался о максимальной величине ущерба, которую может покрыть полис ОСАГО. Согласно действующему законодательству страховая сумма определена в размере 400 тыс. руб. (при этом по каждому страховому случаю выплата не может превышать 120 тыс. на одного потерпевшего и 160 тыс. в сумме - всем потерпевшим). Речь идет только о материальном ущербе.
В последние годы финансовое благосостояние населения улучшается, а на дорогах появляется все больше дорогих машин стоимостью свыше миллиона рублей. В этих условиях вполне возможна ситуация, при которой даже при небольшом ДТП и незначительных повреждениях дорогого автомобиля убыток не сможет быть покрыт полисом ОСАГО. Нередко бывает, что в результате ДТП наносится значительный ущерб одновременно нескольким транспортным средствам. Так, например, весной 2007 г. в Новосибирске произошло крупное ДТП, виновником в котором был грузовой автомобиль. В результате пострадало восемь легковых машин - две из них не подлежали восстановлению; предварительная оценка ущерба составила приблизительно один миллион рублей. С ростом числа автомобилей число крупных аварий увеличивается.
В настоящее время установилась следующая практика. Например, машина потерпевшего застрахована по КАСКО (добровольное имущественное страхование автомобиля от повреждений и угона). Когда застрахованному автомобилю наносится повреждение другим участником ДТП, страховая компания, застраховавшая КАСКО, может потребовать от виновника ДТП право регресса, то есть, выплатив пострадавшему имущественный ущерб, выставляет требование виновнику возместить этот ущерб себе. Виновник ДТП обязан сделать это согласно действующему законодательству, если сумма ущерба превышает максимальную сумму возмещения по ОСАГО.
В последние годы стало популярным приобретение автомобиля в кредит. Главная задача банка, выдавшего кредит, - своевременно вернуть предоставленные заемщику средства. Некоторые банки понимают, что, если заемщик станет виновником крупного ДТП, оставшуюся часть убытка, которую не покроет полис ОСАГО, ему, возможно, придется возмещать из собственного кармана, что поставит его в очень трудное финансовое положение, в результате которого он не сможет вернуть выданный кредит банку. Поэтому некоторые банки требуют от заемщика приобретать так называемый полис дополнительного ОСАГО. Это новая страховая услуга, представляющая собой добровольный вид страхования гражданской ответственности владельца транспортного средства с франшизой, установленной, например, в 120 тыс. руб. В случае нанесения виновником ущерба другим лицам в сумме, не превышающей 120 тыс., убыток этим дополнительным полисом покрываться не будет. Если сумма ущерба превысит 120 тыс., страховая компания выплатит пострадавшим возмещение в размере всего ущерба за вычетом 120 тыс. Таким образом, устанавливается безусловная франшиза в размере 120 тыс. руб.
Сегодня такие полисы продаются, и число их продаж постоянно растет. Однако практика показывает, что страховыми компаниями тариф формируется не на основании каких-либо установленных правил. Экономического обоснования стоимости такого полиса просто нет.
В данной статье мы хотели бы рассмотреть математическую модель расчета тарифов, а также численно получить стоимость полиса добровольного страхования автогражданской ответственности при безусловной франшизе.
Математическая модель
В имущественном страховании, в частности при страховании нанесения материального ущерба, полис можно рассматривать как некую случайную величину - за время его действия может быть произведена страховая выплата определенного размера, может быть произведено несколько выплат, каждая из которых имеет свой размер. В общем случае полис как случайная величина описывается как произведение двух случайных величин:
ТЕТА = кси x эта,
где кси - случайная величина, которая является индикатором страхового события, то есть принимает значение 0, если событие не произошло; значение 1, если произошло одно событие; значение 2, если произошло два события, и т.д. (эти значения возникают с определенной вероятностью);
эта - случайная величина размера убытка в том случае, если произошло страховое событие.
Для данных величин известны математическое ожидание M и дисперсия D:
бесконечность
M(кси) = SUM k x P(кси = k) = p,
k=1
бесконечность
M(эта) = интеграл t x g(t)dt = S ,
0 0
бесконечность 2 2
D(эта) = интеграл (t - S ) x g(t)dt = сигма ,
0 0
где P(кси = k) - вероятность того, что за время действия полиса произойдет k страховых событий;
g(t) - функция плотности распределения случайной величины;
p - вероятность наступления страхового события;
S - среднее значение выплаты;
0
2
сигма - среднее квадратичное отклонение страховых выплат.
2
Величины p, S , сигма можно определить из статистических
0
данных следующим образом:
m
p = --,
n
где n - общее количество заключенных договоров, m - количество страховых случаев;
1 m
S = -- SUM S ,
0 m i=1 i
где S - значение каждой страховой выплаты;
i
2 1 m 2
сигма = ----- SUM (S - S ) .
m - 1 i=1 0 i
Для указанных случайных величин кси и эта существуют распределения вероятностей.
Запись P(кси = k) означает вероятность того, что в течение действия полиса произойдет k страховых случаев. Это дискретное распределение; на практике часто для этой величины используют распределение Пуассона.
k
-p p
P(кси = k) = l --- (k = 1, 2, 3...),
k!
P(кси = 0) = 1 - p,
где p - вероятность наступления страхового события в целом.
Случайная величина эта описывается непрерывным распределением. Вероятность того, что размер выплаты попадет на интервал от a до b, определяется:
b
P(a <= эта <= b) = интегралg(t)dt.
a
При этом должно выполняться условие:
бесконечность
P(0 <= эта <= бесконечность) = интеграл g(t)dt = 1,
0
где g(t) - плотность вероятности распределения величины эта.
На практике для случайной величины эта для случая страхования ответственности достаточно успешно можно применять гамма-распределение с параметрами альфа и бета. Плотность гамма-распределения есть:
-t
----
альфа-1 бета
t l
g(t) = ---------------------. (1)
альфа
бета ГАММА(альфа)
Гамма-распределение есть:
P(0 <= эта <= x) = Gamma(x, альфа, бета) =
-t
----
альфа-1 бета
x t l
= интеграл----------------------dt. (2)
0 альфа
бета ГАММА(альфа)
Именно в таком виде она задана как встроенная функция в MS Excel.
ГАММА(альфа) - это гамма-функция,
бесконечность -e альфа-1
ГАММА(альфа) = интеграл l t dt
0
и имеет следующие свойства:
ГАММА(альфа + 1) = альфа x ГАММА(альфа). (3)
Математическое ожидание и дисперсия для гамма-распределения выражаются через параметры альфа и бета:
бесконечность
M(эта) = интеграл t x g(t)dt = альфа x бета = S ,
0 0
бесконечность 2 2
D(эта) = интеграл (t - S ) x g(t)dt = альфа x бета =
0 0
2
= сигма .
Отсюда находим параметры гамма-распределения альфа и бета. В результате получим:
2
S
0
альфа = ------;
2
сигма
2
сигма
бета = ------.
S
0
Далее будем описывать следующую ситуацию.
Принимается, что страховая сумма по полису не ограничена, количество страховых случаев не ограничено. Вводится безусловная франшиза в размере a рублей. В дальнейшем при расчетах принимать будем эту величину равной 120 тыс. руб. Ставится задача определить величину стоимости страхового полиса.
Стоимость полиса определяем как основную часть с учетом нагрузки без рисковой надбавки:
T
0
T = -----.
1 - f
На практике рисковая надбавка при большом объеме договоров имеет малое значение, поскольку фактически она стремится к нулю с увеличением количества договоров. Более разумным является выбор параметра f, который может принимать значение 0,6 - 0,7.
Основную часть нетто-ставки запишем в виде функции убытка:
-
бесконечность ¦ бесконечность
T = SUM ¦k x P(кси = k) x интеграл (t - a) x
0 k=1 ¦ a
L
¬
¦
x g(t)dt¦. (4)
¦
-
Выражение означает, что производится суммирование по всем возможным страховым событиям, поскольку их может произойти одно или несколько.
Выражение под знаком суммы означает, что если произошло k страховых событий, то при этом будет произведено k страховых выплат. Каждая страховая выплата не может быть меньше величины альфа; в случае если размер убытка превышает указанную величину, выплачивается возмещение за вычетом величины альфа.
Перепишем выражение (4) с учетом (2):
-
бесконечность бесконечность ¦
T = интеграл (t - a) x g(t)dt x SUM ¦k x
0 a k=1 L
¬
¦ бесконечность
x P(кси = k)¦ = p x интеграл (t - a) x g(t)dt =
- a
- ¬
¦бесконечность бесконечность ¦
= p¦ интеграл t x g(t)dt - a интеграл g(t)dt¦ =
¦ a a ¦
L -
-- ¬
¦бесконечность ¦
= p¦ интеграл t x g(t)dt - a(1 - Gamma(a, альфа, бета))¦.
¦ a ¦
L -
С учетом (1) - (3) интеграл можно записать так:
бесконечность
интеграл t x g(t)dt = альфа x бета x (1 - Gamma(a,
a
альфа + 1, бета)) = S x (1 - Gamma(a, альфа + 1, бета)).
0
Тогда окончательно получим значение основной части нетто-
ставки - T :
0
- ¬
¦S (1 - Gamma(a, альфа + 1, бета)) -¦
T = p¦ 0 ¦.
0 ¦ ¦
¦- a(1 - Gamma(a, альфа, бета)) ¦
L -
Таким образом, получена простая форма расчета стоимости полиса, которую удобно реализовать в MS Excel. Если использовать MS Excel, в которой будет вычисляться ячейка, значение гамма-распределения будет иметь вид:
Gamma(a; альфа; бета) = ГАММАРАСП (a; альфа; бета; Истина).
Гамма-распределение - это не берущийся в явном виде интеграл (2), поэтому значения гамма-распределения определяются из специальных таблиц или же используется готовая подпрограмма - функция, которая определяет значение по определенному численному алгоритму.
Как ранее говорилось, значение брутто-ставки определяем по формуле:
T
0
T = -----,
1 - f
при этом в дальнейших расчетах f = 0,6.
Численный результат
На основании имеющихся у автора статистических данных получены значения стоимости полиса добровольного страхования автогражданской ответственности владельцев транспортных средств при условии безусловной франшизы 120 тыс. руб. В таблице представлены значения стоимости взноса для отдельных категорий ТС, а также используемые статистические данные.
Значения стоимости взноса для отдельных категорий
транспортных средств
--------------T--------T-----------T--------T-------------T-----T---------T--------T-------T-------T---------
Тип ¦Франшиза¦Вероятность¦ Среднее¦ Отклонение ¦Альфа¦ Бета ¦ Нетто- ¦Брутто-¦Базовый¦ Нетто-
транспортного¦ a, руб.¦ p, % ¦значение¦ 2 ¦ ¦ ¦ ставка ¦ ставка¦ тариф ¦ ставка
средства ¦ ¦ ¦ выплаты¦ сигма ¦ ¦ ¦T , руб.¦T, руб.¦ ¦T , руб.
¦ ¦ ¦S , руб.¦ ¦ ¦ ¦ 0 ¦ ¦ ¦ 0
¦ ¦ ¦ 0 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
--------------+--------+-----------+--------+-------------+-----+---------+--------+-------+-------+---------
1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 ¦ 5 ¦ 6 ¦ 7 ¦ 8 ¦ 9 ¦ 10 ¦ 11
--------------+--------+-----------+--------+-------------+-----+---------+--------+-------+-------+---------
Грузовые ¦ 120 000¦ 5,00 ¦ 31 003 ¦1 091 893 102¦ 0,88¦35 219,28¦ 44 ¦ 110 ¦ 2 025 ¦ 44
автомобили ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
(кат. "C"), ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
16 тонн и ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
менее ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
--------------+--------+-----------+--------+-------------+-----+---------+--------+-------+-------+---------
Грузовые ¦ 120 000¦ 6,38 ¦ 40 367 ¦2 026 259 341¦ 0,80¦50 196,40¦ 191 ¦ 478 ¦ 3 240 ¦ 191
автомобили ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
(кат. "C"), ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
более 16 тонн¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
--------------+--------+-----------+--------+-------------+-----+---------+--------+-------+-------+---------
Легковые ¦ 120 000¦ 3,79 ¦ 28 737 ¦1 262 327 248¦ 0,65¦43 927,10¦ 47 ¦ 117 ¦ 1 980 ¦ 47
автомобили ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
(кат. "B"), ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
физические ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
лица, ПБОЮЛ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
--------------+--------+-----------+--------+-------------+-----+---------+--------+-------+-------+---------
Легковые ¦ 120 000¦ 5,16 ¦ 24 862 ¦ 766 985 610¦ 0,81¦30 849,45¦ 20 ¦ 50 ¦ 2 375 ¦ 20
автомобили ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
(кат. "B"), ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
юридические ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
лица ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
--------------+--------+-----------+--------+-------------+-----+---------+--------+-------+-------+---------
Из таблицы видно, что самая высокая стоимость полиса (столбец 9) у грузовых автомобилей грузоподъемностью более 16 тонн. В столбце 10 для сравнения даны значения базового страхового взноса для указанной категории транспортных средств по ОСАГО, утвержденные Правительством РФ.
Для величины убытка по каждому полису принималось максимальное из двух значений - страховой выплаты или заявленного убытка.
На рисунке представлены значения плотности гамма-распределения g(t). Кривая 1 - грузовые автомобили грузоподъемностью менее 16 тонн, кривая 2 - грузовые автомобили грузоподъемностью более 16 тонн, кривая 3 - легковые автомобили.
Плотность гамма-распределения g(t)
0,000035 T------------------------------------------
¦
¦
¦
¦
¦ .
0,000030 +------------------------------------------
¦ +
¦
¦ .
¦
¦ +
0,000025 +--.---------------------------------------
¦ *
¦
¦ .
¦ +
0,000020 +--* --------------------------------------
¦
¦ .
¦
¦ +
¦
0,000015 +----*.------------------------------------
¦
¦ .
¦ +
¦ *
¦ .
0,000010 +------------------------------------------
¦ +
¦ *
¦ .
¦ +
¦ --------¬
0,000005 +-----------------*------------------------ ¦+ + + 1¦
¦ + ¦* * * 2¦
¦ . + ¦. . . 3¦
¦ * L--------
¦ . + *
¦ . + .
0,000000 +-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----¬
20 40 60 80 100 120 140
тыс. руб.
На графике видно, что большая часть убытков концентрируется на небольших суммах до 40 тыс. руб.; меньшее количество убытков - это крупные убытки. Также видно, что у грузовых автомобилей (кривые 1 и 2) убытки, превышающие 40 тыс., возникают чаще, чем у легковых автомобилей, поскольку свыше 40 тыс. кривая для грузовиков выше, чем у легковых. В части малых убытков (до 10 тыс.) легковые автомашины превосходят грузовики.
Мы не ставили перед собой цели получить точные значения стоимости полиса "дополнительного ОСАГО". В статье лишь реализован подход к решению данной проблемы. Сегодня затруднительно получить более достоверные данные по убыткам по ОСАГО, превышающим 120 тыс. руб., которые необходимо использовать при расчете добровольного полиса автоответственности с превышением суммы 120 тыс. руб. Эта трудность связана с тем, что в учете страховых операций страховые компании в журнале учета убытков не могут отражать заявленные убытки, превышающие размер страховой суммы 400 тыс. или величину 120 тыс. руб. на одного потерпевшего по ОСАГО, поскольку на основании этих данных формируется резерв заявленных, но неурегулированных убытков (если эти суммы окажутся большими, это будет нарушением налогового законодательства).
Для учета крупных убытков необходимо вести дополнительный учет. При отсутствии статистики мы считаем, что для начала достаточно продавать такие полисы по заданной стоимости, а вместе с тем изучать статистику, связанную с такими полисами, чтобы в дальнейшем корректировать их стоимость.
И.В.Стяжков
Актуарий
Подписано в печать
18.06.2007
