Actuarial & Financial services

А.Г. Шоломицкий, 2005 год

• Краткосрочные, такие, как заработная плата и др.;

• Другие долгосрочные вознаграждения работникам (other long-term benefits), включая премии к юбилеям и др.;
• Выходные пособия;
• Выплаты долевыми инструментами (например, акциями компании).

• Актуарные обязательства (Accrued Actuarial Liability) AL - понятие, аналогичное понятию пенсионных обязательств в отечественной практике; измеряет сумму активов плана, которые «в идеале» должны иметься в наличии на дату оценки для покрытия будущих выплат.
• Нормальный платеж (Normal Cost) NC - сумма взноса, при выполнении актуарных предположений достаточная для финансирования роста обязательств в течение заданного периода.
• Фондированные обязательства (Funded Liability) F - сумма обязательств, оплаченных вкладчиком, или, проще говоря, чистый остаток (резерв) по данному плану. Равны суммарной оценочной стоимости активов плана.
• Нефондированные обязательства (Unfunded Liability) UL - сумма, определяющая актуарный дефицит (профицит) плана как разница между обязательствами и фондированными обязательствами, UL = AL-F.
• Начальные нефондированные обязательства (Initial Unfunded Liability) IUL - нефондированные обязательства, возникающие при организации плана, например, корпоративного. Как правило, они возникают в отношении работников, уже некоторое время проработавших в компании.
• Актуарный убыток (прибыль) (Actuarial Loss/Gain) L - актуарный дефицит (профицит), возникающий в течение данного периода по причине несоответствия актуарных предположений реальности или изменения актуарных предположений при следующей (в конце периода) актуарной оценке, как указывается в МСФО 19.7 (раздел «Определения»):

Поясним это. Пусть t - момент актуарной оценки. В этот момент и по базису этого момента вычисляется величина нормального платежа  который должен покрыть рост обязательств за период от t до момента следующей оценки t+1. Это покрытие роста обязательств в течение года было бы точным, если бы все актуарные предположения были в точности выполнены в течение года и на момент t+1 не изменились (то есть базис момента t+1 в точности соответствовал бы «прогнозу», который можно было бы сделать в момент t). Однако такого совпадения не бывает; необходимую коррекцию и называют актуарной прибылью/убытком. Андерсон [8] дает следующую формулу для актуарного убытка:

                                                                                                                        

где i- ставка процента, использованная при расчетах (ставка дисконта, актуарная норма доходности) в момент t, C - сумма внесенных взносов за период от t до t+1,  - инвестиционный доход на взносы. Если величина убытка отрицательна, ее называют прибылью, и наоборот.

                МСФО 19 требует отдельного расчета актуарных убытков по обязательствам и по активам. Подставим в (1)  и сгруппируем члены, прибавив и отняв размер B суммарных пенсионных выплат за период от t до t+1. Кроме того, формула (1) написана для случая, когда нормальный платеж рассчитывается как сумма, вносимая в начале года, т.е. в момент оценки t. Для дальнейшего будет удобнее считать нормальные платежи вносимыми в конце периода, как предполагают примеры из МСФО. В этом случае соответствующая сумма, с учетом инвестиционного дохода, должна быть в  раз больше. Поэтому заменим  на . В результате этих действий получим      

                                                                  

                                                                         

где  - реальная доходность на активы плана за период[6]. Аналогичное уравнение можно написать и для обязательств. Ниже также приводится поясняющий пример расчета из МСФО 19. Нужно иметь в виду, что  и  представляют собой оценки обязательств и активов плана, сделанные в момент t+1 уже по изменившемуся базису этого момента. 

                Читатель, знакомый с принципами расчетов в страховании жизни, может также увидеть аналогию между первым членом в (2) и определением прибыли по полису страхования жизни (см., например, [7]). Здесь  ─ аналог резерва нетто-премий,  ─ аналог нетто-премии. Это дает еще одно объяснение формулы (2).

                При индивидуальных актуарных методах для каждого индивидуального участника оцениваются величины нормальных платежей и обязательств . Рассчитав эти величины, их суммируют по всем участникам, чтобы получить NC и AL для плана в целом.

                Индивидуальные методы могут быть разными, так как обязательства  могут рассчитываться по-разному в период накопления, то есть до достижения пенсионного возраста R. К моменту достижения этого возраста пенсия становится «гарантированной» (vested), точнее - назначенной, и обязательства  становятся равными сумме, достаточной для финансирования этой пенсии, или, как говорят актуарии, актуарной современной стоимости (actuarial present value, APV) пенсии. Индивидуальные методы, с актуарной точки зрения, различаются способом распределения оплаты пенсии по годам периода накопления. Два крайних случая - начальное фондирование, при котором будущая пенсия оплачивается в момент начала приобретения пенсионных прав, и конечное (терминальное, terminal) фондирование, при котором пенсия оплачивается в момент выхода на пенсию. Начальное фондирование на практике по понятным причинам обычно не применяется, а конечное, хотя и применяется в России, не считается хорошей практикой на Западе (например, в США оно прямо запрещено законом), так как не обеспечивает социальной защищенности работников на случай отказа работодателя (или невозможности) финансировать план. Все актуарные методы, применяемые на практике, предусматривают какое-либо «разложение» оплаты пенсии по годам стажа. При этом они основаны на различных принципах, как будет видно ниже.

                Данный метод основан на вычислении пенсионных прав - пенсии, «заработанной» на определенный возраст. Математически пенсионные права выражаются некоторой функцией , если x - возраст участника.

                В МСФО используется такое актуарное понятие, как current service cost - «стоимость текущего стажа» (или «текущих услуг»). Под стоимостью текущего стажа работников понимаются обязательства, которые возникнут за период от момента настоящей оценки t до момента следующей оценки t+1. Эта стоимость равна нормальному платежу  метода накопленных прав. МСФО 19 требует признания этой величины в составе расхода компании-работодателя. Соответственно, прошлый стаж - от момента начала приобретения пенсионных прав до момента, по состоянию на который сделана последняя оценка, будущий - после момента, по по состоянию на который делается настоящая оценка, до достижения пенсионного возраста. Однако нужно иметь в виду, что понятие стоимость прошлого стажа (past service cost) употребляется не по аналогии с понятием стоимости текущего стажа. Оно означает увеличение обязательств по прошлым периодам в связи с изменением условий плана в текущем периоде (МСФО 19.7).

                                                                                                                                                          

                                                                                                                                                                         

                Правила расчета нормальных платежей и обязательств при этом методе просты и очевидны. Нормальные платежи  рассчитываются как суммы, достаточные для оплаты пенсионных прав в размере b(x), т.е. как актуарная (т.е. средняя, ожидаемая) современная (т.е. приведенная к настоящему моменту времени с помощью дисконтирования) стоимость пенсии в таком размере (постоянном или, например, начальном, если схема предполагает индексацию пенсий). Обязательства пенсионного плана  в отношении участника могут быть вычислены как актуарная современная стоимость пожизненной пенсии «заработанного» размера.

                                                                                                                                                                      

где - «расчетная пенсия», которая представляет собой некоторый отправной размер пенсии, принимаемый в расчетах. Величины прав B(x) и пенсии p можно считать в тех единицах, в каких это удобно: считать их размером месячной пенсии, годовой пенсии, или же актуарной стоимости пенсии. Например, если расчетная пенсия p=1200 рублей в месяц, или 14400 рублей в год, работнику сейчас x=50 лет, возраст начала приобретения пенсионных прав a=30 лет, пенсионный возраст R=60, то пенсионные права B(50) равны 800 рублей в месяц или 9600 рублей в год.

                                                                                                                                                                        

• Accrued benefit unit-credit метод, называемый также «традиционным» или «обычным» (regular) unit-credit, и

• Projected benefit unit-credit метод, называемый также projected unit-credit, или projected unit методом, а в русском переводе МСФО 19 - «методом прогнозируемой условной единицы», - метод, совмещающий методологию определения накопленных прав с прогнозированием или «проектированием» пенсии.

Чтобы исключить такой нежелательный эффект, и был введен projected unit-credit - метод «прогнозируемой условной единицы». Согласно этому методу, расчетная пенсия p вычисляется не на основе текущей зарплаты, а на основе прогнозируемой картины зарплаты до момента выхода работника на пенсию. Расчетная пенсия представляет собой прогнозируемую пенсию. Есть стандартные методы, которыми пользуются актуарии для прогнозирования зарплат/пенсий. Они включают, в частности, построение шкалы возрастных коэффициентов  («шкала зарплат», salary scale), показывающих предполагаемый рост заработной платы по возрастам. Кроме того, обычно используются предположения о росте всех зарплат, независимо от возраста, в связи с ростом производительности труда и общего уровня жизни (см. пример ниже).

                Пусть i - годовая процентная ставка, по которой производится дисконтирование (актуарная норма доходности, ставка дисконтирования),  - соответствующий коэффициент дисконта. Если поток платежей неслучаен и состоит из платежей размером  в моменты то его актуарная современная стоимость совпадает с современной или дисконтированной стоимостью (present value),

                                                                         

                В международной актуарной практике приняты особые обозначения для актуарных современных стоимостей некоторых «стандартных» потоков платежей. В частности, современная стоимость потока («ренты») с платежами 1 в моменты 0,…,n-1, т.е. в начале каждого года в течение n лет (время измеряется в годах), обозначается через , ренты с платежами 1 в моменты 1,…,n, т.е. в конце каждого года, через , рент с помесячными платежами в размере 1/12 (соответственно, в начале месяца и конце месяца, в течение n лет), через  и . Например,

                Основой для вычислений вероятностей платежей являются средние числа  людей, оставшихся в условной (с фиксированной начальной численностью, обычно 100000) популяции работающих к возрасту x. Эти числа для целых возрастов x содержатся в так называемой таблице службы (service table), обычно используемой актуарием. Причинами выбытия из популяции могут быть смертность, инвалидность, увольнение и т.д. Таблицы службы содержат средние числа выбывающих из популяции по этим причинам. Вероятности платежей в тех случаях, когда платеж зависит от того, остался ли данный индивидуум в группе участников, вычисляются как отношения чисел  Например, вероятность того, что участник возраста x=40 лет останется в группе участников и станет получателем пенсии по старости в пенсионном возрасте R=60, равна . Здесь и ниже будем считать, что все участники, оставшиеся в группе на возраст R, становятся получателями пенсий по старости; через  для возрастов x, бóльших R, будем обозначать средние числа пенсионеров по старости.

                Для вычисления APV потоков платежей, которые зависят от случайных событий (например, от того, останется ли в группе участников какое-то лицо), величины платежей следует взвешивать по их вероятностям. Приняты международные обозначения для стандартных потоков платежей. В частности, введем обозначение для APV стандартного пожизненного аннуитета пренумерандо с 12 платежами в год, начиная с возраста x, . Эта величина представляет собой APV стандартного потока платежей по  в начале каждого месяца жизни, начиная с возраста x, и вычисляется как

                                                                                

где суммирование ведется до конца таблицы службы (до ее конечного возраста). Этим аннуитетом удобно пользоваться для вычисления APV пожизненных пенсий. Например, если пенсия выплачивается пожизненно с пенсионного возраста R в годовом размере 6000, то ее APV на начало выплат равно .

                Нам также понадобится рассчитывать APV таких пенсий на моменты, предшествующие достижению пенсионного возраста. Например, пусть пенсия участнику возраста x=40 будет выплачиваться в размере 6000 в год помесячно начиная с пенсионного возраста R=60. Для того, чтобы найти ее актуарную современную стоимость, нужно дисконтировать и умножить на вероятность остаться в группе, что даст

                Общие правила вычисления обязательств и стоимости текущего стажа (нормальных платежей) в отношении индивидуального участника, достигающего возраста xв момент оценки t, которые обозначим  и соответственно, определяются так:

• Обязательства  вычисляются как актуарная современная стоимость пенсии в размере заработанных на момент оценки пенсионных прав B(x), определенных формулой (5);
• Стоимость текущего стажа  вычисляется как актуарная современная стоимость пенсии в размере заработанных в течение года пенсионных прав b(x), определенных формулой (6).

Будем рассчитывать на момент оценки t обязательства  и нормальные платежи  покрывающие рост обязательств в период от t до момента следующей оценки t+1. Будем считать, что нормальные платежи вносятся в конце периода, т.е. в момент t+1 (но рассчитываются в начале периода, т.е. в момент оценки t, по базису этого момента).

                                                                                                                  

                                                                                                                

                                                                                                                                            

                                                                                                                                    

                                                                                               &nb