Actuarial & Financial services

А.Г. Шоломицкий, 2006 год

1. Введение
В настоящее время вопросы, связанные с созданием программ (планов) до-
полнительного негосударственного пенсионного обеспечения, актуальны
не только для многих российских компаний, но и для экономики и соци-
альной сферы страны в целом. Как известно, пенсионная реформа в России
предусматривает широкое развитие дополнительного негосударственного
пенсионного обеспечения. Такие программы рассматриваются как второй
уровень (после государственного пенсионного страхования) социальной за-
щиты работников. Это соответствует взгляду на социальное обеспечение
работников, который является общепринятым в современном мире. Сегод-
ня системы дополнительного пенсионного обеспечения чрезвычайно ши-
роко распространены, и значительную часть нагрузки по социальному обес-
печению в старости несут негосударственные программы.
При возникновении у работодателя намерения создать для своих работ-
ников пенсионную программу сразу же возникают такие вопросы, как:
• Какова форма программы, наилучшая или наиболее приемлемая для ра-
ботодателя и работников?
• Какова стоимость пенсионной программы?
• Каковы риски, сопряженные с финансированием пенсионной програм-
мы?
Ответ на первый вопрос во многом зависит от конкретной ситуации в
компании и, шире, в экономике вообще. Прежде всего, выбор варианта пен-
сионной программы определяется выбором между планами с установлен-
ными взносами (defined contribution, DC) и с установленными выплатами
(defined benefit, DB).
В настоящей работе анализируется несколько вариантов фондирования
программ пенсионного обеспечения. Основное внимание будет обращено
на планы с установленными выплатами. По мнению автора, развитие таких
планов наиболее актуально сегодня для России, так как именно они обес-
печивают наилучшую социальную защиту работникам. В таких планах уро-
вень пенсий является гарантированным, обычно зависящим от стажа и за-
рплаты работников (чем выше показатели стажа и зарплаты, тем выше пен-
сии). В DC схемах, с другой стороны, уровень пенсий зависит от внесенных
взносов и инвестиционной доходности. Нужно сказать, что сегодня россий-
ские НПФ часто применяют такие схемы с установленными взносами, в
которых выплата пенсий производится лишь в течение определенного сро-
ка либо до исчерпания средств пенсионного счета. Такие схемы не обеспе-
чивают полного покрытия всей оставшейся жизни пенсионера и не дают
адекватной социальной защиты. Вообще, принципом DC планов является
расчет пенсии исходя из размеров пенсионных накоплений работников, по-
этому все риски перекладываются на плечи будущих пенсионеров (участ-
ников). Наиболее серьезные пенсионные программы работают по страховым
схемам, в которых пенсия назначается НПФ в момент выхода работника на
пенсию и гарантируется (в определенном размере с возможной индексаци-
ей, но без возможности уменьшения) на весь период оставшейся жизни пен-
сионера. Все такие схемы мы относим в рамках настоящей работы к схемам
с установленными выплатами (DB). В таких схемах возникают более слож-
ные задачи актуарного анализа, чем в планах с установленными взносами.
Наиболее распространенная схема работы отечественных DB корпора-
тивных пенсионных программ сегодня такова. Средства, вносимые компа-
нией-работодателем, поступают на ее солидарный счет в негосударственном
пенсионном фонде (НПФ). В момент выхода участника на пенсию средства
в размере, необходимом для финансирования его будущей пенсии, резер-
вируются тем или иным образом (с переводом на на индивидуальный счет
участника либо на солидарный счет пенсионных выплат либо без перевода,
оставаясь на том же солидарном счете компании). Нужно сказать, что счета
в НПФ являются всего лишь единицами учета – на самом деле средства на-
ходятся в управлении управляющей компании (УК) и инвестируются ею.
По результатам управления (как правило, ежегодно) на пенсионные счета
начисляется инвестиционный доход.
Центральным вопросом построения и регулирования (государственного
или, как говорят в Европе, общественного) является вопрос фондирования
пенсионных обязательств. Как известно, фондируемые (накопительные)
пенсионные схемы отличаются тем, что средства пенсионных взносов вно-
сятся заранее и “работают” определенное время, принося инвестиционный
доход. В нефондируемых или распределительных схемах этого не происхо-
дит, поступающие средства сразу используются для выплат пенсий (схема
выплат с колес, pay-as-you-go).
В настоящее время принцип полного фондирования пенсионных обяза-
тельств является практически общепринятым принципом деятельности не-
государственных (частных) пенсионных планов во всем мире. Преимущес-
тва фондируемых схем известны, и мы не будем их здесь анализировать.
В настоящей работе мы рассмотрим именно фондируемые схемы. Однако
методы их фондирования (финансирования) могут быть различными. Ме-
тод финансированя или фондирования (funding method) — это центральное
понятие пенсионной актуарной математики. Каждый такой метод выража-
ет определенный подход к тому, что считать обязательствами по пенсион-
ному плану и, тем самым, если принимается принцип полного фондирова-
ния обязательств, какая сумма активов должна иметься в наличии для пок-
рытия данных обязательств.
Вышеописанная схема с “выделением” средств, предназначенных для
фондирования пенсии участника, выходящего на пенсию, в момент его вы-
хода на пенсию, подсказывает следующий подход к этому вопросу: пенсия
участника (работника) должна фондироваться в момент его выхода на пен-
сию. Это означает, что на солидарном счете компании-работодателя в НПФ
должна в этот момент иметься сумма, достаточная для единовременного фон-
дирования пенсии участника. Именно так действуют сегодня многие рос-
сийские пенсионные программы, реализуемые НПФ. При этом нужно от-
метить, что такой принцип полного фондирования пенсий на стадии выплат
следует считать прогрессивным в существующей российской “пенсионной
действительности”, когда не все считают полное фондирование
“ненарушимым” принципом.
После перевода средств на оплату будущих пенсий возможны различные
варианты распределения ответственности за выплату будущих пенсий и свя-
занных с этой выплатой рисков между НПФ и компанией-работодателем.
Мы рассмотрим две следующие схемы.
(а) Пенсионное страхование: ответственность за выплату пенсий несет
исключительно негосударственный пенсионный фонд1. В этом случае пос-
ле оплаты пенсий работодатель уже не вносит дополнительных взносов в
случае, если средств на выплаты не хватает. С другой стороны, если остают-
ся избыточные средства, они поступают в распоряжение фонда, работода-
тель не может распоряжаться ими.
(б) Пенсионный план: ответственность за выплату пенсий несет исключи-
тельно компания-работодатель. Она вносит дополнительные взносы в слу-
чае нехватки средств на выплаты пенсий, однако имеет и возможность рас-
поряжаться избыточными средствами. Как правило, такая пенсионная про-
грамма реализуется при помощи единого солидарного счета компании-ра-
ботодателя в НПФ, куда поступают взносы и откуда выплачиваются
пенсии2.
Минимальные нормы фондирования, порождаемые обеими этими схе-
мами, сводятся к фондированию пенсий работников, уже вышедших на пен-
сию (пенсий на стадии выплат). Такое фондирование называется конечным
или терминальным (terminal), а также единовременным.
Однако международная практика частного пенсионного обеспечения
и регулирования в этой области идет значительно дальше. Их принципы
предусматривают те или иные минимальные нормы фондирования уже
на стадии накопления — т.е. до выхода работника на пенсию. Единовре-
менное фондирование не считается хорошей практикой. Легко понять,
почему это так: следует заботиться о создании пенсионных накоплений
работников в течение всей их карьеры с тем, чтобы обеспечить права ра-
ботников на пенсии и уменьшить их зависимость от работодателей. Так,
нормы Международного стандарта финансовой отчетности (МСФО 19)
предусматривают учет пенсионных обязательств компаний перед работ-
никами на основе расчета пенсионных прав последних3, причем эти пра-
ва возникают, как правило, в течение всей или почти всей карьеры работ-
ника, начиная с того момента, когда получение будущей пенсии стано-
вится вероятным для данного работника. Пенсионные права рассчитыва-
ются на основе так называемого projected unit-credit метода (см. ниже).
МСФО 19 требует учета этих прав в качестве долгосрочных обязательств
компаний.
Нормы пенсионного законодательства США (например) прямо запре-
щают конечное фондирование пенсий. Так называемый Employee Retirement
Income Security Act (ERISA), принятый Конгрессом в 1974 году и с тех пор
составляющий основу американского пенсионного законодательства, пред-
писывает строго определенные методы расчета норм фондирования для час-
тных DB пенсионных планов. Все разрешенные Актом методы предусмат-
ривают создание пенсионных накоплений до выхода на пенсию, в течение
стажа (карьеры) работника.
Для наглядности все это проиллюстрировано на рис. 1.
В данной работе ставится задача сравнения, с точки зрения эконо-
мической эффективности, управляемости и структуры рисков, программ,
фондируемых по различным схемам — как описанным выше, так и при-
меняемым в международной практике. Нужно сказать, что “западные” ме-
тоды фондирования пенсионных планов достаточно разнообразны. В
общем, они делятся на индивидуальные и групповые. В качестве примера
первых мы рассмотрим уже упомянутый projected unit-credit метод. В
качестве примера вторых возьмем так называемый агрегированный
(aggregate) метод финансирования. Последний является одним из про-
стейших и наиболее распространенных в мире методов фондирования
DB планов.
Нужно отметить, что, наряду с созданием пенсионных накоплений в те-
чение карьеры работника, “западные” методы фондирования пенсионных
планов имеют еще одно очень важное отличие от схемы пенсионного стра-
хования. Это отличие в гибком актуарном управлении уровнем взносов в та-
кой план. В работе (Шоломицкий, 2003а) автор уже пытался показать пре-
имущества такого гибкого управления. Коротко говоря, они сводятся к тому,
что план становится более прозрачным и более предсказуемым для работо-
дателя (в частности, в смысле размера взносов).
Ниже исследуются пенсионные программы четырех типов, а именно,
построенные по:
стейших и наиболее распространенных в мире методов фондирования
DB планов.
Нужно отметить, что, наряду с созданием пенсионных накоплений в те-
чение карьеры работника, “западные” методы фондирования пенсионных
планов имеют еще одно очень важное отличие от схемы пенсионного стра-
хования. Это отличие в гибком актуарном управлении уровнем взносов в та-
кой план. В работе (Шоломицкий, 2003а) автор уже пытался показать пре-
имущества такого гибкого управления. Коротко говоря, они сводятся к тому,
что план становится более прозрачным и более предсказуемым для работо-
дателя (в частности, в смысле размера взносов).
Ниже исследуются пенсионные программы четырех типов, а именно,
построенные по:
подробный обзор этих результатов читатель может найти в статье Шоло-
мицкого (2002б).
Практически-ориентированные модели инвестиционных доходностей
для целей актуарного моделирования рызвивались в ряде работ. В частнос-
ти, хорошо известна модель Уилки (Wilkie, 1986), представляющая собой
ряд взаимосвязанных ARMA моделей временных рядов инфляции, цен и
доходностей индексных пакетов акций и облигаций. Некоторые другие та-
кого рода модели для актуарного анализа описаны в книге Дэйкина и др.
(Daykin et al., 1994).
3. Фондирование: сценарный подход
Данный раздел демонстрирует методологию актуарного анализа стоимости
пенсионных программ. Здесь такой анализ делается с целью дать ответы на
поставленные выше вопросы сравнения вариантов фондирования. Однако
примерно такими же методами может выполняться актуарный сценарный
анализ пенсионных программ на практике. Такой анализ может проводить-
ся как на стадии планирования пенсионной программы (с целью более точ-
ной оценки различных ее вариантов), так и после ее “запуска” (в целях про-
гнозирования, анализа рисков и пр.).
3.1. Условный пенсионный план
Рассмотрим задачу расчета стоимости и анализа вариантов фондирования
на примере условного пенсионного плана. Представим себе некоторую ком-
панию, имеющую N работников. Предположим, что средняя зарплата ра-
ботников компании составляет на текущий момент 5 000 рублей в месяц.
Предположим, что компанией выбран вариант пенсионной программы,
согласно которому работникам, выходящим на пенсию в текущем году, на-
значается пенсия в среднем размере, скажем, 1 000 рублей в месяц. Нужно
сказать, что возможны различные варианты назначения пенсий. Обычно,
как сказано выше, размеры пенсий определяются некоторой формулой, свя-
зывающей их со стажем и заработной платой. Будем называть эту формулу
пенсионной формулой. В нашей общей модели нет необходимости вводить ту
или иную конкретную формулу.
Исходным пунктом анализа стоимости пенсионной программы являет-
ся построение для нее актуарной модели денежных потоков.
Мы ограничимся ниже упрощенной моделью, достаточной для целей
данного исследования. Будем предполагать, что все участники одинаковы,
т.е. работники получают одинаковую среднюю зарплату, а пенсионеры —
одинаковую пенсию. Кроме того, рассмотрим в качестве отправной точ-
ки нашего анализа стационарный случай: будем считать, что в будущем за-
рплаты и пенсии не изменятся. Например, можно считать, что зарплаты и
пенсии изменяются пропорционально, скажем, инфляции, и измерять все
денежные потоки в реальных ценах текущего момента времени.
По широко распространенному сравнению, пенсионный план (как и
любую страховую или сберегательную систему) можно уподобить бассейну,
в который по некоторым трубам вода вливается, а по другим выливается.
Роль воды играют деньги. В рассматриваемом случае пенсионного плана
схема проста: средства вливаются только в виде взносов, а выливаются в
виде выплат пенсий. Емкость бассейна составляет пенсионный резерв — средс-
тва, предназначенные для выплаты пенсий. Кроме того, имеют место пла-
тежи, связанные с инвестированием средств пенсионного резерва. Можно
рассматривать начисление управляющей компанией инвестиционного до-
хода на пенсионный резерв как изменение уровня воды в нашем бассей-
не – повышение, если доходность положительна, и понижение, если она
отрицательна.
Кроме того, существуют налоги и административные расходы, связан-
ные с деятельностью плана. Не вдаваясь в подробности, которые могли бы
увести нас в сторону, будем считать, что в пенсионные взносы включена не-
которая постоянная нагрузка на расходы, т.е. будем рассматривать взносы
в очищенном от нагрузки (нетто-) размере5.
При фиксированной пенсионной формуле исходящий денежный поток
DB пенсионного плана является фиксированным. Стоимость пенсионного
плана выражается той или иной последовательностью платежей пенсион-
ных взносов, в обмен на которую работодатель покупает поток пенсионных
выплат из плана.
С экономической точки зрения, проблема планирования, выбора вари-
антов и оценки рисков пенсионной программы имеет очевидное сходство
с проблемами, возникающими при анализе инвестиционных проектов. Пен-
сионный план также можно рассматривать как инвестиционный проект.
Естественно, что при фиксированности выплат из плана работодатель за-
интересован в том, чтобы его стоимость была по возможности меньшей.
Как известно, существуют различные критерии, применяемые для оп-
ределения экономической эффективности того или иного проекта. Про-
стейшим критерием является так называемая NVP. Для простоты здесь и
ниже будем предполагать, что все платежи осуществляются в целые момен-
ты времени (измеряемого в годах), t = 0, 1, 2, ... Если C1, C2, ..., Ct, — после-
довательность взносов, вносимых компанией-работодателем в план, то эко-
номическую эффективность этих вложений естественно было бы оценивать
величинами их NPV, меньше NVP — больше эффективность,
0 1 ... t ...
t NPV =C +C v+ +C v + , (1)
где ν — некоторый коэффициент дисконтирования, 1
1 r v + ∗ = . Здесь r* — дис-
контная ставка, отражающая предпочтения работодателя как некоторая при-
емлемая для него норма доходности.
Для компаний, которые применяют расчеты NPV для планирования сво-
ей деятельности, использование такого критерия для оценки и планирова-
ния затрат на пенсионное обеспечение выглядит вполне естественным, поз-
воляя учитывать и оптимизировать эти затраты наряду с другими расходами
компании.
Важную роль в управлении пенсионным планом играет актуарий. Для
построения адекватной модели нужно имитировать работу актуария, вы-
числяющего пенсионные взносы в DB планах. Для простоты будем считать,
что это делается один раз в год. При расчетах актуарий делает определенные
предположения о будущем и закладывает в свои расчеты некоторые пара-
метры. Совокупность параметров актуарного расчета называется актуарным
базисом (actuarial basis). Например, важной составляющей базиса является
актуарная норма доходности — ставка, применяемая актуарием для дискон-
тирования денежных потоков выплат и взносов. Имитационная модель, в
которой присутствует актуарий, тем самым становится моделью с обратной
связью (динамическим управлением).
3.2. Общее описание модели
Здесь будет описана актуарная модель денежных потоков пенсионной про-
граммы, используемая как для моделирования методом сценариев этого раз-
дела, так и для стохастического моделирования в дальнейшем. В принципе,
модель охватывает существенно более общие случаи, чем рассматриваемый
пример условного пенсионного плана.
Как уже говорилось, мы будем считать, что все платежи осуществляют-
ся в целые моменты времени t = 0, 1, 2, ... (время в годах). Пусть все участ-
ники вступают в схему в начальном возрасте a лет и выходят на пенсию в
пенсионном возрасте R лет. Пусть s(t, x) — число участников пенсионной
схемы, в момент t находящихся в возрасте x. Все возраста также целые и из-
меряются в годах. Смертность членов пенсионной схемы восполняется еже-
годным вступлением s(t, a) новых членов возраста a. Будем предполагать,
что единственная причина выбытия из популяции — смертность, единс-
твенный вид пенсий — пенсии по старости, выплачиваемые начиная с воз-
раста R (одинакового для мужчин и женщин). В реальных пенсионных схе-
мах, кроме пенсий по старости, обычно выплачиваются пенсии по нетру-
доспособности (инвалидности) и потере кормильца, кроме того, есть миг-
рация работников, различие пенсионных возрастов для мужчин и женщин
и другие факторы, которые здесь не учитываются.
Будем считать, что все работники (участники возрастов a, ..., R – 1 воз-
раста x в каждый момент времени t получают одинаковую годовую зарплату
w(t, x), а все пенсионеры (участники возрастов R, ..., E , где E — некоторый
предельный возраст) одинакового возраста x — одинаковую годовую пен-
сию b(t, x). Если c(t, x) — норма пенсионных отчислений с зарплаты работ-
ника возраста x, то сумма пенсионных взносов, поступающих в фонд в год
t, составит
1
() ( ) ( ) ( )
R
x a
C t c t x w t x s t x
−
=
=Σ , , , . (2)
Суммарная пенсия, выплачиваемая из пенсионного фонда в год t , со-
ставит
() ( ) ( )
E
x R
B t b t x s t x
=
=Σ , , . (3)
Пусть F(t) — резерв (или сумма активов) пенсионной программы на мо-
мент t, до выплаты пенсий и поступления взносов. Основное уравнение,
определяющее динамику резерва, следующее:
( ) 1 ( 1) (1 ) ( ) ( ) ( ) t F t r F t C t B t + + = + + − , (4)
где rt + 1 — норма инвестиционной доходности по портфелю активов про-
граммы за период от t до t + 1
Основным элементом управления (обратной связи) в модели является
подмодель или блок актуарного оценивания. Здесь будем предполагать, что
актуарное оценивание производится в моменты t = 0, 1, 2, ... Производя рас-
четы в момент t , актуарий пользуется следующими параметрами:
– значением резерва F(t);
– численностями возрастных когорт участников s(t, x);
– величинами зарплат для данного года, w(t, x);
– нормой инфляции за период от t – 1 до t, it;
– годовыми нормами: инвестиционной доходности rν; инфляции iν ; при-
роста зарплат wν. Эти нормы, используемые актуарием для расчета, будем
называть актуарными или оценочными (valuation rates).
Зарплаты и нормы повышений зарплат нужны в том случае, когда пен-
сионные взносы рассчитываются как процент от зарплаты; норма инфля-
ции используется, если предполагается индексация пенсий по инфля-
ции.
Будем считать, что результатом актуарного расчета, проведенного в мо-
мент t, являются:
• величины пенсий b(t, x);
• величины ставок пенсионных отчислений c(t, x) или суммарный взнос
C(t).
Нужно заметить, что такое общее описание актуарного расчета приме-
нимо как для DB, так и для DC схем. В первом случае (как и в нашем при-
мере условного DB пенсионного плана) величины пенсий b(t, x) фиксиро-
ваны, и рассчитываются взносы. В случае классического DC плана, в кото-
ром пенсионные отчисления составляют фиксированный процент от за-
рплаты, c(t, x) фиксированы, и рассчитываются, наоборот, пенсии.
Рис. 2. Схема имитационной модели пенсионной программы
Описанный процесс реализуется с помощью имитационного моделиро-
вания. Алгоритм можно расписать по этапам следующим образом.
Этап 1. Генерируются значения за период [t – 1, t] параметров: инфляции
it, инвестиционной доходности rt , зарплат w(t, x) и размеров возрастных ко-
горт участников s(t, x).
Этап 2. Вычисляются актуарные оценочные нормы iν, rν и wν.
Этап 3. Производится актуарный расчет, дающий величины пенсий
b(t, x) и ставок пенсионных отчислений c(t, x) или суммарных взносов
C(t).
Этап 4. При помощи уравнений (2) — (4) вычисляется следующее зна-
чение пенсионного фонда F(t + 1).
Этапы 1—4 повторяются столько раз, сколько требуется для получения
модельной траектории значений F(t) заданной длительности. Затем анало-
гично имитируется следующая траектория, и т.д. до получения нужного чис-
ла траекторий. На рис. 1 изображена принципиальная схема этой модели.
Неопределенность в системе порождается тем, что в момент t актуарий
не в состоянии точно оценить значений следующих параметров на момент
t + 1:
– нормы инфляции it +1, используемой для индексации пенсий, а следо-
вательно, и величин пенсий b(t + 1, x);
– нормы инвестиционной доходности rt +1 за период от t до t + 1;
– зарплат w(t + 1, x);
– состояния популяции участников, описываемого размерами возраст-
ных когорт s(t + 1, x).
Из-за случайного характера этих величин их значения на момент t + 1
обязательно отклоняются от используемых актуарием при расчете в момент
t их оценок: актуарных норм iν, rν и wν, а также ожидаемых размеров возрас-
тных когорт участников. Поэтому актуарный баланс пенсионной схемы на-
рушается, и при новом расчете в момент t + 1 актуарий должен корректи-
ровать размеры пенсий или взносов, в зависимости от типа схемы.
Таким образом, колебания этих четырех параметров представляют ис-
точники неопределенности в модели (указаны на схеме рис. 2 слева). Их ко-
лебания могут моделироваться либо сценарно, как в этом разделе, либо сто-
хастически, как в следующем.
3.3. Актуарные методы
Актуарные методы для пенсионных планов тесно связаны с расчетами ми-
нимальных норм или уровней фондирования для них, почему эти методы
часто называют методами фондирования или финансирования (funding methods).
Как было отмечено выше, мы рассмотрим три метода, или три варианта
фондирования нашего условного пенсионного плана. Читатель, желающий
подробнее познакомиться с актуарными методами финансирования пен-
сий, может обратиться к работам (Anderson, 1992; Шоломицкий, 2002а,б).
Первый вариант — это метод пенсионного страхования с единовремен-
ным фондированием. При таком методе минимальной нормой фондирова-
ния плана в каждом году (минимальным взносом работодателя) следует счи-
тать сумму, достаточную для оплаты будущих пенсий пенсионеров, выходя-
щих на пенсию в течение года. Будем считать, что эта сумма вносится за год
до достижения пенсионного возраста R, то есть в момент достижения ра-
ботником возраста R – 1. Поскольку число таких работников было выше
обозначено s(t, R – 1), взнос работодателя должен быть равен
C(t)=APVbt⋅s(t,R−1), (5)
где APVbt — актуарная современная стоимость (APV) будущей пенсии
одного работника на момент t. Последняя рассчитывается как APV пожиз-
ненного аннуитета, отложенного на год,
| 1 1 t( 1 ) R ( 1 ) ˆRR APVb b t R a b t R ν p a − − = + , ⋅ 􀀅􀀅 = + , ⋅ ⋅ ⋅􀀅􀀅 ,
где ν — коэффициент дисконта, соответствующий актуарной доходнос-
ти rν, 1
1 ˆ
rv v + = . Та же доходность rν используется и для расчета APV аннуите-
тов.
Как отмечалось выше, при данном методе после назначения пенсии ком-
пания-работодатель не несет ответственности за ее дальнейшую выплату.
Можно считать, что работодатель просто ежегодно покупает пожизненные
аннуитеты для своих работников, достигающих пенсионного возраста. Для
расчета APV поэтому обычно используются консервативные нормы доход-
ности rν, которые значительно ниже ожидаемой (средней) инвестиционной
доходности. Это делается с целью обеспечения у пенсионного фонда (кото-
рый в данном случае выступает фактически в качестве страховщика) необ-
ходимого запаса прочности, т.е. резерва на случай падения инвестиционной
доходности ниже ожидаемого уровня.
Рассмотрим теперь описанную выше схему пенсионного плана с едино-
временным фондированием. При назначении НПФ пенсии происходит ре-
зервирование средств либо на солидарном счете компании-работодателя,
либо путем их перевода на индивидуальный пенсионный счет. Минималь-
ной суммой, которая должна быть профондирована, является APV пенсий
всех пенсионеров. Эту сумму обозначим APVB. При ее расчете также обыч-
но используется консервативная норма доходности rν. Пока баланс соли-
дарного счета, равный сумме активов пенсионной программы, Ft, не мень-
ше этой суммы, компания-работодатель может производить назначения
пенсий; если же Ft становится ниже APVBt, работодатель должен пополнить
счет. Поэтому минимальный годовой взнос или норму фондирования мож-
но считать равными
t t t C =APVB−F. (7)
Заметим, что при благоприятном опыте эта сумма может быть отрица-
тельной.
Далее, рассмотрим имитацию схемы, финансируемой по агрегированно-
му методу. В каждый момент времени t = 0, 1, 2, ... в такой схеме актуарий
вычисляет ставку пенсионного взноса c(t, x) = ct, определяя такую долю от
зарплаты, взимание которой в виде пенсионного взноса позволит профи-
нансировать пенсии лиц, являющихся участниками пенсионной схемы в
момент t, без учета вступления новых участников в последующие годы.
Для наших целей нам достаточно написать выражение для взноса в слу-
чае, когда зарплаты всех работающих участников равны средней зарплате,
w(t, x) = w(t) для всех x, а пенсии всех пенсионеров равны средней пенсии,
b(t, x) = b(t) для всех x. Ниже предполагается, что актуарий некоторым об-
разом прогнозирует будущие зарплаты и пенсии. Эти прогнозные (актуар-
ные) величины зарплат и пенсий, используемые в расчетах, будем обозна-
чать wˆ и bˆ. Если t — момент актуарного оценивания, то актуарий оценивает
будущие зарплаты для года τ > t как
ˆ( ) (1 ) t ( )
v wτ = +wτ − ⋅wt, (8)
где wν — актуарная норма прироста зарплат (вообще говоря, зависящая от t).
Аналогично, уровень будущих пенсий
ˆ( ) (1 ) t ( )
v bτ = +iτ − ⋅bt, (9)
где iν — актуарная норма прироста зарплат (тоже, вообще говоря, зави-
сящая от t).
Тогда соответствующее соотношение актуарного баланса (эквивалент-
ности) записывается в виде
( ) ( ) ˆ( )ˆt ( )ˆ( )ˆt
t
t t
F t c NW w v NP b v τ τ
τ τ
τ τ − τ τ −
≥ ≥
+ Σ =Σ , (10)
где
1
( ) ˆ( )
R
x a
NWτ sτ x
−
=
=Σ , — число работников, ( ) ˆ( )
E
x R
NPτ sτ x
=
Σ , — число
пенсионеров на момент τ, согласно актуарному прогнозу на момент t,
ˆ (1 ( )) 1 v v rt− = + — коэффициент дисконтирования, используемый актуа-
рием для оценки.
Заметим, что здесь, как и везде ниже, крышечкой обозначены актуар-
ные значения. Мы имитируем работу актуария в момент t. В этот момент ак-
туарий не знает будущих значений величин когорт и будущей инвестици-
онной доходности. Для своих расчетов он использует прогнозные величины
sˆ(τ,x)для τ>t, которые он вычисляет по текущему реальному состоянию по-
пуляции s(t, x) (представляющему собой результат имитации к этому момен-
ту) и актуарной таблице смертности. Старение когорты участников, пред-
полагаемое актуарием, соответствует средним нормам смертности. Его мож-
но описать уравнением
( 1 1) ( ) x sτ+ ,x+ =sτ,x⋅p, (11)
где px — вероятность прожить 1 год для участника возраста x, вычисленная
по актуарной таблице смертности.
При этом, что наиболее важно, актуарий считает sˆ(τ, a) = 0, т.е. не пред-
полагает вступления новых молодых участников в будущем. Таким образом,
он рассматривает только старение и постепенное вымирание существующей
на момент τ популяции участников. В соответствии с этим, суммирование
в (10) ведется до обнуления сумм, число членов определяется величинами
R и E.
Выражая ct из (10), записывают его в виде
( ) t
t
t
APVB F t
c
APVW
−
= , (12)
где ( )ˆ( )ˆ t
t
t
APVB NP b vτ
τ
τ τ −
≥
= Σ — актуарная современная стоимость пенсий
участников, имеющихся на момент t, ( ) ˆ( )ˆ t
t
t
APVW NW w vτ
τ
τ τ −
≥
= Σ — актуар-
ная современная стоимость зарплат участников, имеющихся на момент t.
Полная сумма пенсионного взноса C(t) вычисляется путем подстановки
вычисленной величины c(t, x) = ct в (2).
Четвертый из рассматриваемых нами методов фондирования пенсион-
ного плана — так называемый projected benefit unit-credit метод, или unitcredit
метод с проектированием пенсий. Этот метод является индивидуаль-
ным, то есть для каждого участника вычисляются величины пенсионных обя-
зательств AL(t, x) и так называемого нормального платежа NC(t, x).
Пусть APVb(t, x) — актуарная современная стоимость пенсии участника,
находящегося в момент t в возрасте x, рассчитанная на момент t. Тогда
NC(t x) 1 APVb(t x)
R a
, = , ;
−
(13)
и для x ∈ [a..R –1]
( ) ( )
1
AL t x x a APVb t x
R a
−
, = , .
− −
(14)
Для возрастов x > R –1 нормальные платежи нулевые, а обязательства
равны актуарным современным стоимостям пенсий APVb(t, x) .
Суммирование по всем участникам дает суммарный нормальный пла-
теж
1
( ) ( )
R
t
x a
NC NC t x s t x
−
=
=Σ , , (15)
и суммарные актуарные обязательства
AL AL t x s t x
=
=Σ , , . (16)
Разность
t t t UL = AL −F (17)
называется нефондированными обязательствами (unfunded liability). Значе-
ние UL0 называется начальными нефондируемыми обязательствами (initial
unfunded liability).
Для погашения нефондированных обязательств в состав взноса включа-
ется дополнительный платеж, который обозначим At. Сумма взноса, таким
образом, имеет вид
( ) t t C t =NC +A. (18)
Согласно, например, (Овадалли и Хэберман, 1999), в актуарной практи-
ке обычно применяются два различных подхода к погашению нефондиро-
ванных обязательств: “амортизация” и “распределение”.
Рассмотрим первый из них. Актуарным убытком/прибылью (actuarial
gain/loss) за период [t – 1, t] называется величина
{"плановое" значение } A
t t t t t L =UL− UL =UL−UL, (19)
где под “плановым” значением ULt
A понимается ожидаемое актуарное зна-
чение, рассчитанное в момент t –1. Это та величина нефондируемых обяза-
тельств, которая имела бы место при точном выполнении всех актуарных
предположений.
Амортизацией равными платежами в течение m лет называется погаше-
ние требуемой суммы такими платежами, чтобы их современная (дискон-
тированная) стоимость равнялась требуемой сумме. Таким образом, плате-
жи в погашение актуарного убытка величиной Lt вносятся в моменты вре-
мени τ = t, t + 1, ..., m – 1, а величина одного платежа рассчитывается как
A
L
a L
t
m
(τ)= ,
􀀅􀀅 |
где m
m a | v v v
􀀅􀀅 =1+ + 2+...+ -1есть современная стоимость стандартной ренты
пренумерандо с m ежегодными платежами, рассчитанной с коэффициентом
дисконта v iv =1/(1+ ). Удобно определить эти величины и для τ < t и
τ < m – 1, полагая в этих случаях AL(τ) = 0.
Аналогично рассчитываются амортизационные платежи в погашение на-
чальных нефондированных обязательств; срок их амортизации будем обоз-
начать через M:
В отличие от работы Троубриджа, здесь рассматривается популяция учас-
тников, которая только становится стационарной, так как в начальный мо-
мент мы не предполагаем наличия пенсионеров. Однако популяция работ-
ников, конечно, является стационарной. Вся популяция участников стано-
вится стационарной, когда в ней появляются пенсионеры всех возможных
возрастов, от 60 до 100, то есть через 40 лет после запуска программы.
Согласно расчету, численность первой возрастной когорты (возраста 25)
равна 119. Это означает, что для поддержания стационарности популяции
численность вновь вступающих в каждом году участников должна быть имен-
но такой, то есть s(t, 25) = 119. Дальнейшее уменьшение численности когорт
происходит по правилу (11). Численность последней из когорт, находящих-
ся в трудоспособном возрасте, s(t, 59) = 83.
Рассмотрим схемы фондирования плана, описанные выше. Принципи-
альным моментом для расчетов является выбор актуарных норм доходнос-
ти. Для плана, действующего по принципу пенсионного страхования с еди-
новременным фондированием, ставка должна быть ниже, чем для планов,
где применяются агрегированный метод или unit-credit метод. Это вызвано
тем, что, как уже обсуждалось, в этом случае риски берет на себя пенсион-
ный фонд. Выберем эту ставку реальной доходности, используемую для рас-
четов аннуитетов в такой схеме, на уровне 2% годовых. Ставку, используе-
мую для актуарных расчетов в планах с агрегированным методом (C) и unitcredit
методом (D), выберем на уровне 4% годовых. Напомним, что эти став-
ки — реальные. Так, если уровень инфляции составит 3–4%, то ставка для
расчета аннуитетов составит 5–6%, а ставка для планов C и D — 7–8%. На-
сколько известно автору, ставка 5–6% близка к тем, которые сегодня часто
используют для расчетов в страховых схемах, подобных описанной. Что ка-
сается пенсионных планов, то обычно в качестве ориентира для актуарных
норм доходности используют доходности долгосрочных корпоративных или
государственных облигаций (как предписывается, например, тем же МСФО
19). Ставка 4% в реальном выражении может показаться некоторым на 1–
2% заниженной, однако мы используем все-таки эту ставку. Дело в том, что
нашей целью здесь является сравнение трех описанных типов фондирова-
ния. Различие ставок создает дополнительное преимущество фондирова-
нию по типу пенсионного плана по сравнению с пенсионным страховани-
ем. Мы хотим показать, что это преимущество существует даже при мини-
мальной разнице в процентных ставках — всего в 2%. Реально же эта раз-
ница должна быть больше, до 4–5%. Как показывают расчеты, при разнице
в ставках в 4% фондирование по типу пенсионного плана выигрывает уже
“за явным преимуществом”, т.е. требуемый уровень взносов просто ниже
для всех лет, чем в случае пенсионного страхования. Если же различие в
ставках такое, как указано, т.е. 2%, то все не так очевидно. Эту ситуацию
мы и рассмотрим.
Нужно заметить, что, кроме консервативных процентных ставок, при
фондировании по принципу пенсионного страхования может использовать-
ся и более консервативная таблица смертности. Расчеты, однако, показы-
вают, что эффект от этого обычно менее значим, чем эффект консерватив-
ности процентной ставки, поэтому мы его не будем пока моделировать. Одна
и та же таблица смертности определяет “реальное” изменение численности
когорт в стационарной популяции участников и используется для расчета
аннуитетов.
На рис. 4 и 5 показаны, соответственно, размеры пенсионных взносов
работодателя и резервов (активов) пенсионного плана для всех четырех изу-
чаемых нами типов фондирования в том случае, когда реальная инвестици-
онная доходность равна актуарной. В случае фондирования unit-credit мето-
дом период амортизации начальных нефондированных обязательств взят
равным 15 годам. Взнос в случае пенсионного страхования (A) составляет
6,03% и не меняется. Взносы в случае агрегированного метода (C) посте-
пенно снижаются с 8,29% в первый год до 2,34% в последние годы. Взносы
в случае unit-credit метода (D) в первые 15 лет, пока амортизируются началь-
ные нефондированные обязательства, составляют 7,64%, а затем резко па-
дают до 2,67% ФОТ.
Как сказано выше, актуарные нормы доходности являются консерватив-
ными, т.е. заниженными. Посмотрим, что получится в случае, когда реаль-
ная доходность будет отличаться от актуарной.
Попробуем выбрать сценарии поведения инвестиционной доходности в
будущем, которые будут достаточно правдоподобными. Конечно, в принци-
пе при анализе пенсионной программы она может тестироваться на доста-
точно широком наборе сценариев. Мы исследуем здесь только три сцена-
рия — “умеренно-оптимистический”, “умеренно-пессимистический” и
“пессимистический — кризисный”.
В 2002—2003 годах российский фондовый рынок демонстрировал хо-
роший рост. Это позволило многим НПФ в эти годы показать доходность
в 20—25% годовых. На фоне инфляции, составлявшей 13—15%, реальную
доходность для наших сценариев выберем на уровне 8% годовых в первый
год.
В последующие годы, как ожидает большинство аналитиков, параметры
фондового рынка должны постепенно приближаться к параметрам разви-
тых рынков. По-видимому, инвестиционная политика НПФ также должна
становиться более консервативной. Это должно вести к некоторому сниже-
нию доходностей.
Согласно “умеренно-оптимистическому сценарию”, предполагается, что
доходность будет снижаться на 0,5% в год, пока не достигнет 5% годовых.
Если считать моментом отсчета (запуска нашего пенсионного плана) начало
2004 года, то реальная доходность снизится до 5% к 2010 году. Согласно про-
гнозам Правительства и МЭРиТ, инфляция к 2010 году должна снизиться до
4% в год, то есть мы предполагаем номинальную доходность на уровне 9%.
Этот сценарий, как мы видим, предусматривает устойчивое развитие рос-
сийского фондового рынка без экономических потрясений, кризисов и пр.
“Умеренно-пессимистический” сценарий предусматривает более быст-
рое падение реальной доходности, а именно, на 2% в год, до 0 в течение че-
тырех лет, а затем повышение на 1% в год до долгосрочного уровня в 3%.
Такой сценарий может соответствовать той возможности, что развитие пой-
дет не вполне так, как хотелось бы. В частности, выход на устойчивую 5%-ю
доходность в предыдущем сценарии означает выход экономики на некото-
рую устойчивую “линию развития”. Однако сегодня нельзя считать, что та-
кое устойчивое развитие достигнуто. Экономика и, в частности, фондовый
рынок остаются “нефтезависимыми”. Ценные бумаги сырьевых компаний
составляют основу российского рынка корпоративных бумаг. В 2002—2003
на этом рынке наблюдался рост, в значительной мере “подогревавшийся”
оптимизмом инвесторов в отношении акций нефтегазовых компаний. Мо-
жет оказаться, однако, что при неблагоприятной конъюнктуре (в частности,
снижении цен на энергоносители), рынок этих акций сильно замедлит свой
рост. В долгосрочной перспективе может снизиться и доходность корпора-
тивных облигаций. Кстати, нужно заметить, что доходности краткосрочных
облигаций ведущих российских эмитентов уже сейчас ниже прогнозов ин-
фляции.
Третий сценарий — “пессимистический — кризисный” предусматрива-
ет снижение доходности на 1% в год в течение трех лет, а затем небольшой
(относительно) кризис фондового рынка, в течение которого произойдет
падение реальной доходности до –6%, затем помтепенное восстановление
в течение 2-х лет и стабилизация на долгосрочном уровне в 1%.
Три сценария долгосрочного поведения доходности иллюстрируются
рис. 6.
Нужно оговориться, что эти сценарии, как и любые другие, представля-
ют собой всего лишь более или менее правдоподобные гипотезы в отноше-
нии будущего. Преимущество подхода динамического анализа и метода сце-
нариев состоит в том, что мы не считаем наши соображения ни в коем слу-
чае “непогрешимыми” и именно поэтому применяем сценарии для тести-
рования нашей модели пенсионного плана, анализируя ее поведение при
различных возможностях. Такой подход часто называют подходом “что-если-
анализа” (what-if analysis) .
Для указанных выше (раздел 1) вариантов A — D фондирования пенси-
онного плана были промоделированы величины активов и пенсионных взно-
сов в трех сценариях I — III. Во всех случаях предполагалось, что работода-
тель точно выполняет минимальные нормы фондирования. В случае фон-
дирования по projected unit-credit методу D амортизация начальных нефон-
дируемых обязательств предполагалась в течение 15, а актуарных
прибылей/убытков — в течение 10 лет. Актуарная норма доходности пред-
полагалась во всех случаях постоянной, в случаях A, B — равной 2%, в слу-
чаях C и D — равной 4% годовых. Актуарное оценивание и пересчет взносов
в случаях B, C, D предполагались ежегодными.
На рис. 7 и 8 показаны результаты моделирования резерва (суммы акти-
вов) пенсионного плана.
На рис. 9 показаны взносы при тех же сценариях.
С точки зрения теории управления, эти рисунки показывают “реакцию”
пенсионного плана как системы на “входные импульсы”, задаваемые сце-
нариями. Существенное различие между системой типа A (фондирование
по типу страхования) и типов B, C, D (фондирование по типу пенсионного
плана) заключается в том, что последние представляют собой системы с об-
ратной связью. Роль обратной связи, как уже говорилось, играет “подстрой-
ка” взносов актуарием.
Эти соображения объясняют общий вид полученных графиков: для пла-
нов B — D мы видим, что происходит “коррекция” взносов с их “подстрой-
кой” под реализующийся сценарий доходности. Это особенно хорошо вид-
но из рис. 9. Программа, фондируемая по типу “пенсионного страхования”,
с другой стороны, демонстрирует свою негибкость. Из рис. 6 видно, что в
сценариях I и II такая схема в целом “справляется” с выплатами и имеет
значительный излишек средств (профицит), благодаря тому, что в этих слу-
чаях актуарный базис, использованный для расчета тарифов, оказывается
более консервативным, чем реализующиеся сценарии. Значит, пенсион-
ный фонд или страховая компания, реализующие такую программу, оста-
ются в большой прибыли — естественно, за счет средств компании-рабо-
тодателя.
Если же пенсионная программа фондируется по типу “пенсионного пла-
на”, то в таком случае компания-работодатель самостоятельно контроли-
рует свои пенсионные резервы, но и несет риски. Взносы, как мы видим,
гибко “подстраиваются” под реальные доходности. Даже в неблагоприят-
ных сценариях планы B — D функционируют в целом стабильно. В них име-
ется небольшой дефицит либо профицит средств. Наличие дефицита/про-
фицита определяется тем, насколько правильно актуарий оценивает доход-
ность: если актуарная доходность в целом ниже реальной, то имеется про-
фицит, иначе — дефицит. Вторая ситуация, конечно, не является
нормальной: следует ожидать, что в случае систематической переоценки
доходности будут предприняты шаги для пересмотра актуарной доходнос-
ти, хотя могут быть ситуации, когда это вызовет трудности. Например, если
пенсионная программа реализуется через НПФ, часто минимальный уро-
вень доходности гарантируется пенсионным договором. Необходимость пе-
ресмотра договора, внесения дополнительных взносов вкладчиком и пр. —
это ситуации, которых НПФ обычно стремится избежать. Поэтому пара-
метры актуарного базиса, в частности, нормы доходности, обычно и выби-
раются “консервативными”.
Из рисунков также видны более тонкие различия между планами. Обра-
тим внимание на то, что план B обладает более быстрым реагированием на
изменения доходности, чем планы C и D. Поэтому, как видно из рис. 7, в
этом случае дефицит/профицит фонда меньше. На первый взгляд это ка-
жется преимуществом, но анализ рис. 9 говорит об обратном. Отличие пла-
на B от C и D фактически состоит в немедленном изменении уровня взноса
при дефиците (профиците) по итогам года. Поэтому фондирование полу-
чается очень чувствительным к скачкам инвестиционной доходности: такой
актуарный метод сразу “выдает сигналы” о том, что необходимо погасить
дефицит или что есть профицит. С точки зрения компании-работодателя,
это приводит к резким колебаниям уровня требуемых взносов (рис. 9). Это,
конечно, не очень хорошо. Желательной характеристикой актуарного ме-
тода является “гладкость” порождаемой им последовательности взносов,
плавность изменений, отсутствие резких скачков взносов. Действительно,
из общих соображений ясно, что нет смысла в таком немедленном реаги-
ровании на изменения доходности: случайные убытки одного года могут
быть уравновешены прибылями другого.
Методы C и D, с другой стороны, содержат уже как бы “встроенные ме-
ханизмы” плавной коррекции дефицита/профицита.
Казалось бы, нетрудно придумать такой механизм и для “российского”
метода B. Он мог бы основываться на принципах “амортизации” актуарных
прибылей/убытков или “распределения” дефицита. Однако на практике
это сопряжено с некоторыми трудностями: можно сказать, что существую-
щая сегодня в России неразвитая нормативная база и примитивная прак-
тика актуарного оценивания не приспособлены для введения даже такого
“небольшого усовершенствования” — конечно, в том случае, если пенси-
онная программа реализуется через НПФ. При ежегодном актуарном оце-
нивании НПФ, например, актуарный баланс должен быть бездефицитным,
а это значит, что предусмотреть погашение дефицита в течение ряда лет не-
возможно.
Ниже мы проведем более подробный анализ уровня колебаний взноса
для разных планов, включая оценку количественных характеристик, осно-
вываясь уже на стохастической модели.
В таблице 1 приведены данные о дисконтированной стоимости (NPV)
пенсионных взносов в течение 80 лет для планов A — D в различных сцена-
риях. Мы видим, что планы B — D получаются значительно более дешевы-
ми для компании-работодателя, за исключением сценария III, где дешевле
план A (что говорило бы в его пользу, если бы этот план не “разорялся” в
этом сценарии). Причина этого, конечно, в том, что в случаях B — D в сце-
нариях I и II прибыль от более высокой инвестиционной доходности, чем
актуарная доходность, не “уходит на сторону”, т.е. в прибыль НПФ или стра-
ховой компании, а остается в программе.
Таблица 1 Дисконтированные стоимости взносов в пенсионный план при различных
вариантах фондирования (млн. руб., дисконтная ставка 2%), для трех
сценариев и случая, когда доходность совпадает с актуарной нормой
доходности (“расчет”)
A B C D
Расчет 542 542 402 392
I 542 381 291 291
II 542 493 489 484
III 542 599 613 637
Сравнивая стоимости планов B — D, можно заметить, что в сценарии I,
где актуарные доходности для всех планов ниже реальных (нормальная си-
туация) план B оказывается значительно дороже остальных. Причина тоже
понятна: при фондировании пенсий заранее, в течение карьеры работни-
ков, а не при выходе последних на пенсию, средства “работают”, принося
инвестиционный доход, гораздо дольше. Такое фондирование требует, как
мы видим из графиков взносов, несколько больших вложений на начальном
этапе. То, насколько эти вложения больше, зависит от параметров програм-
мы. В нашем расчете, параметры которого выглядят в целом довольно реа-
листично, читатель сам может оценить разницу во взносах из графиков и
решить, является ли она значительной.
Интересно, что полученные значения стоимости планов оказались близ-
ки в “ненормальных” ситуациях, причем как в сценарии II, где актуарий
как бы ошибается, переоценив доходность, для планов C и D, так и в сце-
нарии III, где такая ошибка делается для всех трех планов.
В заключение этого раздела нужно сказать несколько слов о сравнении
взносов в планах C и D. Из рисунков видно, что амортизация начального
дефицита (нефондируемых обязательств) в течение 15 лет, предусмотренная
в плане D (unit-credit метод), приводит к “ступенчатому” изменению взно-
са по сравнению с фондированием по агрегатному методу C. В последнем
случае кривая взносов получается более гладкой, взнос уменьшается не скач-
кообразно, а постепенно.
4. Исследование актуарных рисков:
подход стохастического моделирования
4.1. Актуарные риски
Актуарные риски — это риски, связанные с непредсказуемостью условий,
в которых в будущем будет действовать пенсионная программа.
Актуарий выполняет свои расчеты (в частности, расчеты взносов) в не-
которых предположениях. Однако будущее никогда не может в точности
соответствовать сделанным актуарным предположениям. Будем называть
актуарными рисками риски отклонения различных параметров от их значе-
ний, заложенных в базис актуарного расчета.
В принципе, пенсионные программы могут быть подвержены большому
разнообразию актуарных рисков. Данная работа ограничивается анализом
двух основных типов риска:
• инвестиционного риска и
• риска колебаний численности участников.
Первый тип риска связан с отклонениями реальной инвестиционной
доходности от предполагаемой, второй — с отклонениями реальных норм
смертности от предполагаемых.
4.2. Модель инвестиционной доходности
Построение долгосрочных актуарных моделей инвестиционной доходности
представляет сложную задачу даже для стран с развитыми фондовыми рын-
ками, имеющими долгую историю и достаточно стабильную структуру. Тем
более это так для России, рынок которой относится к категории “emerging
markets” и носит свойственный таким рынкам волатильный характер. Фон-
довый рынок насчитывает лишь несколько лет относительно устойчивого
развития после кризиса 1998 года, который изменил весь характер рынка, и
последовавшего за ним периода восстановления. Поэтому в настоящее вре-
мя есть лишь короткие временные ряды финансовых показателей, которые
можно было бы использовать для характеристики современного состояния
рынка. Будушее же развитие рынка сопрыжено со значительной неопреде-
ленностью.
Модель, которая строится ниже, является весьма упрощенной и даже
примитивной. Она построена с целью описать “в первом приближении”
инвестиционный риск для тех целей моделирования, которые ставятся в
настоящей работе. Фактически, мы ограничиваемся наложением случайных
колебаний с одной характеристикой — волатильностью. Построение более
“продвинутых” моделей и изучение влияния их эффектов (например, авто-
корреляций, связей различных показателей и пр.) на поведение пенсионных
программ есть дело дальнейших исследований.
Ниже делаются предположения о перспективах инвестиций НПФ в рос-
сийских условиях, ограничиваясь определенным “стабильным” сценарием.
Этот сценарий можно охарактеризовать следующими предположениями:
1. Сохранение существующих структуры рынка и его тенденций.
2. Отсутствие крупных кризисов (политических или экономических).
3. Развитие фондового рынка и постепенное приближение его характерис-
тик к характеристикам развитых рынков.
Ниже строится упрощенная модель инвестиционной доходности акти-
вов НПФ. Мы будем исходить из изложенных предположений, которые,
однако, оставляют еще широкую свободу для гипотез. Чтобы хотя бы час-
тично охватить эти возможности, будет построено два сценария — умерен-
но-оптимистический и умеренно-пессимистический. Прежде всего, остано-
вимся на классах инвестиционных инструментов, применяемых НПФ.
Наиболее консервативные инвестиционные инструменты — государс-
твенные облигации и банковские депозиты. Кроме того, пенсионные фон-
ды инвестируют в векселя (займы), облигации (корпоративные и субъектов
федерации) и акции российских компаний. Согласно данным Инспекции
НПФ (Батаев, 2004), по состоянию на май 2004 года структура портфеля
НПФ в целом была следующей: госбумаги — 10%, облигации — 10%, бан-
ковские депозиты — 20%, векселя — 15%, акции — 45%.
Высокая доля инвестиций в акции, по-видимому, обусловлена такими
факторами, как хорошая доходность российских акций и позитивные эко-
номические ожидания. Кроме того, многие крупные фонды активно инвес-
тируют в акции компаний-учредителей (самоинвестирование). Доля в 45%
инвестиций в акции является весьма высокой. Для стран с развитой эконо-
микой, согласно (Davis, 2002), структура инвестиций частных пенсионных
фондов в целом более консервативна. В частности, облигации составляют
гораздо более существенную долю вложений (в среднем по развитым стра-
нам — 40%). Однако структура пенсионных инвестиций сильно отличается
для разных стран; так, высокая (более 50%) доля инвестиций в акции харак-
терна для Великобритании и США.
Нужно иметь в виду, однако, что в данной работе исследуются в основ-
ном программы с установленными выплатами. Активы таких программ ин-
вестируются более консервативно, так как имеется риск невыполнения обя-
зательств.
В настоящее время основу рынка акций в России составляют бумаги
крупных компаний, в основном сырьевых. Бумаги тех же компаний плюс
облигации субъектов федерации составляют основу рынка облигаций. К
сожалению, по причине внебиржевого характера векселей данные по ним
отсутствуют. Наша модель будет учитывать только рыночные активы. Мы
можем (очень приближенно) считать, что векселя приносят ту же доход-
ность, что и облигации. В настоящее время НПФ запрещены инвестиции
в зарубежные активы, поэтому мы не будем рассматривать и эту альтерна-
тиву.
Ниже рассмотрены имеющиеся данные о реальной доходности четырех
классов активов: гособлигаций, депозитов, облигаций и акций.
В настоящей работе использована простейшая модель доходностей —
так называемая логнормальная модель. Эта модель порождает независимые
одинаково распределенные доходности для последовательных лет, что со-
гласуется с гипотезой эффективного рынка. Именно эта модель часто рас-
сматривается как первое приближение при моделировании финансовых
рынков.
В логнормальной модели для доходности актива rt за период от t до t + 1
можно написать соотношение
1+r =e + t
μ σεt (22)
где ε
t — последовательность независимых для разных t стандартно нормаль-
ных случайных величин, μ и σ ≥ 0 — некоторые константы. Напомним, что
время t измеряется в годах.
Заметим, что если δ
t = ln(1 + rt) — соответствующая годовой доходности
rt логдоходность (сила роста, сила процента, доходность с непрерывным на-
числением), то δ
t = μ + σεt и последовательность {δ
t} — последовательность
независимых одинаково распределенных нормальных случайных вели-
чин.
Рассмотрим основные классы инвестиций российских НПФ.
a. Российские государственные облигации. Дефолт по ним в 1998 году при-
вел к краху всего фондового рынка. Согласно предположению 2 выше, мы
исключаем из рассмотрения повторения подобных событий.
На рис. 10 можно видеть график индекса реальной доходности ГКО, пос-
троенного следующим образом. Были взяты данные о помесячном измене-
нии годовой доходности портфеля ГКО, составленного из облигаций раз-
личного срока погашения по методике Центробанка (данные с сайта Вы-
сшей школы экономики, www.hse.ru). Можно рассуждать следующим обра-
зом. Пусть rk — годовая доходность портфеля ГКО в месяц с номером k.
Будем считать месяц “малым” промежутком времени. Тогда инвестор, вкла-
дывающий 1 рубль в “средневзвешенный” портфель ГКО в начале месяца,
должен в течение месяца получать приблизительно постоянную доходность,
соответствующую годовой доходности rk . Это означает, что через месяц ка-
питал в 1 рубль превращается в (1 + rk)1/12.
Если ik — месячная инфляция в месяце k, то реальная стоимость порт-
феля ГКО с начальной ценой 1 рубль через K месяцев составит
1 12
1
(1 )
( )
1
K
k
i
k k
r
G K
i
/
=
+
= .
+ Π
В качестве показателя инфляции были взяты изменения индекса потре-
бительских цен (месячные данные, также с сайта Высшей школы экономи-
ки). График построенного таким образом индекса ГКО приведен на рис. 10.
Для анализа были взяты данные с марта 2000 года по апрель 2004. Более ран-
ние данные, относящиеся к периодам до дефолта 1998 года и непосредс-
твенно после него, я решил не использовать. Конечное значение индекса
0,800, что соответствует средней (реальной) доходности приблизительно –
5,3% в год.
b. Банковские депозиты. На рис. 10 можно видеть индекс реальной до-
ходности депозитов, построенный по месячным данным о средневзвешен-
ных годовых депозитных ставках для рублевых депозитов юридических лиц
сроком более 1 года (данные Центробанка, март 2000 — сентябрь 2003). Ис-
пользована та же методика построения индекса, что и выше при построении
индекса ГКО. Как и там, будем предполагать достаточную степень дивер-
сификации “портфеля” депозитов. Разница между вложениями в облигации
и депозитами состоит в том, что последние не так ликвидны. Однако, если
представить себе депозит как “ценную бумагу”, то можно использовать те
же соображения, что и для облигаций. Действительно, если депозиты со-
ставляют лишь относительно небольшую долю вложений в составе портфе-
ля пенсионного фонда (как мы будем предполагать везде ниже), то досроч-
ное изъятие средств для исполнения пенсионных обязательств, скорее все-
го, не потребуется. При этих условиях депозиты можно считать эквивален-
тными облигациям с аналогичными условиями.
Мы видим, что реальная доходность вложений в депозиты была отрица-
тельной на протяжении первой половины рассматриваемого периода и по-
ложительной на протяжении второй его половины.
c. Облигации. Рынок корпоративных и муниципальных облигаций на-
чал активно развиваться и привлекать внимание НПФ как объект инвести-
рования их средств в 2002 году. Однако потенциал этого рынка велик.
В странах с развитой экономикой высококачественные корпоративные об-
лигации традиционно считаются одним из основных объектов инвестиро-
вания пенсионных активов. Согласно данным Дэвиса (Davis, 2002), в целом
по экономически развитым странам доля облигаций в портфелях пенсион-
ных фондов к концу 90-х составляла 40%.
К сожалению, в России нет индекса корпоративных облигаций с долго-
срочной историей. Поэтому в данной работе в качестве такого индекса была
использована цена пая паевого инвестиционного фонда (ПИФа), инвести-
рующего в облигации. Цена такого пая показывает рост капитала, вложен-
ного в диверсифицированный портфель облигаций. Кроме того, использо-
вание цен паев ПИФов в качестве индексов имеет то важное преимущество,
что, на мой взгляд, это наиболее реалистичные показатели, отражающие
доходность активов НПФ. ПИФы и НПФ в части инвестирования средств
имеют очень много общего. Прежде всего, активы тех и других управляют-
ся управляющими компаниями (УК). При управлении теми и другими ис-
пользуются консервативные методы, рассчитанные на получение дохода в
долгосрочной перспективе. В частности, портфели являются высокодивер-
сифицированными. Цена пая ПИФа рассчитывается УК ежедневно как цена
условного портфеля активов, за вычетом определенного процента, идущего
в доход УК. Этот процент для крупных фондов довольно мал, и можно счи-
тать его в первом приближении равным расходам на управление активами
НПФ. По всем этим причинам, цена пая ПИФа — индекс, наиболее близ-
кий к индексу инвестиций НПФ (в данном случае, в облигации).
В данной работе был использован ряд значений цен пая ПИФа “ПиоГ-
лобал Фонд Облигаций” — одного из крупных российских облигационных
фондов6. Брались значения цены на середину (15-е число или ближайшее,
если 15-е приходилось на выходные) каждого месяца с марта 2000 по апрель
2004, приведенные к начальной цене, а также к инфляции, следующим
образом. Если
1
( ) (1 )
k
j
j
I k i
=
=Π + — индекс инфляции, B(k) — цена пая, то
индекс реальной цены есть
( ) ( )
i (0) ( )
B k B k
B I k
= .
Это дало индекс, показанный на рис. 10.
d. Акции. Рынок российских акций является более “старым”, чем рынок
облигаций. Акции российских компаний начали появляться на рынке с се-
редины 90-х годов. Есть несколько индексов акций, наиболее известным из
которых является индекс РТС.
Для целей нашего исследования, однако, мы используем в качестве ин-
декса цену пая ПИФа “Лукойл Фонд Первый”, портфель которого состоит
из акций российских компаний7. Это делается из тех соображений, что цену
пая можно рассматривать как “индекс с реинвестированием дивидендов”
(roll-up index). Ведь индекса дивидендов, насколько мне известно, в нашей
стране тоже еще нет. Кроме того, здесь остаются справедливыми все сооб-
ражения в пользу использования цен паев ПИФов, изложенные выше в от-
ношении облигаций. Впрочем, динамика цены пая для рассмотренного пе-
риода с марта 2000 по апрель 2004 в целом довольно близко соответствует
динамике индекса РТС.
По этим четырем индексам были построены ряды месячных логариф-
мических доходностей (логдоходностей). Логдоходность также называют
доходностью с непрерывным начислением, силой роста, силой процента.
Например, для индекса облигаций, обозначенного выше Bi(k), месячная лог-
доходность есть величина
( 1)
ln
( )
i
k
i
B k
B k
δ
􀂪 + 􀂺
= 􀂫 􀂻.
􀂬 􀂼
Если rk — “обычная” доходность индекса облигаций,
( 1)
1
( )
i
k
i
B k
r
B k
+
= − ,
то эти величины, очевидно, связаны соотношением
ln 1 k kδ 􀂪 r 􀂺
􀂫􀂬 􀂻􀂼 = + .
Для прочих индексов эти ряды строятся аналогично.
Таблица 2 Оценки средних рядов логарифмических доходностей и их
среднеквадратических отклонений.
Инструмент Средняя логдоходность Волатильность
I II весь ряд I II весь ряд
ГКО –0,07298 –0,03978 –0,05569 0,02791 0,02160 0,02503
Депозиты –0,01697 0,03311 0,00502 0,02715 0,02010 0,02510
Облигации 0,1324 0,07816 0,1041 0,06937 0,04344 0,05726
Акции –0,06529 0,3297 0,1404 0,3593 0,2533 0,3107
7 Данные на середину каждого месяца, март 2000 — апрель 2004, с сайта УК “Уралсиб”
(ранее “Никойл”), www.management.nikoil.ru.
Римскими цифрами обозначены данные, соответственно, для первой и
второй половин рядов.
Взгляд на эти данные подтверждает сказанное выше о том, что рынок
находится в периоде развития. Данные достаточно сильно разнятся для пер-
вой и второй половин рядов. В то же время тенденция снижения волатиль-
ностей говорит, по-видимому, в пользу принимаемого нами сценария “пос-
тепенной стабилизации”.
Параметры использованной ниже инвестиционной модели были опре-
делены с учетом этих оценок, а также общих соображений относительно
принимаемого сценария.
Выделим три класса (портфеля) инвестиций.
Портфель 1: высоконадежные вложения с фиксированной доходностью,
такие, как гособлигации и депозиты в надежных банках. Будем считать, что
реальная доходность этого портфеля постоянна. Хотя выше мы видели, что
это не совсем так, в сделанных предположениях — в частности, при стаби-
лизации и предсказуемости инфляции — колебания доходности должны
уменьшиться. Некоторое снижение волатильности видно из сделанных выше
оценок. Кроме того, мы будем предполагать сравнительно небольшую долю
инвестиций в этот портфель (20%). Если бы мы сделали его доходность во-
латильной, это было бы по существу излишним усложнением модели, ко-
торое реально почти не повлияло бы на результаты.
Портфель 2: облигационный. При моделировании доходности этого пор-
тфеля будем ориентироваться на динамику цены пая облигационного ПИФа,
проиллюстрированную выше. Нужно заметить, что портфель такого ПИФа
может включать и гособлигации, поэтому подразделение активов между пор-
тфелями 1 и 2 — нестрогое.
Портфель 3: акции российских компаний. В качестве ориентира возьмем
цену пая ПИФа акций.
Доли вложений в каждый из портфелей предполагаются постоянными.
Эти доли обозначим через wi, где i — номер портфеля. Мы рассмотрим два
возможных состава инвестиционного портфеля модельного НПФ: 20-70-10
(20% в высоконадежные инструменты, 70% в облигационный портфель, 10%
в акции, или w1 = 0,2; w2 = 0,7; w3 = 0,1) и, в тех же обозначениях, 20-40-40.
Будем предполагать, что портфель ежегодно перебалансируется, с учетом
изменений цен активов и полученного денежного дохода, с тем, чтобы доли
wi поддерживались постоянными.
Доходности портфелей обозначим через rt
(i), где снова i = 1, 2, 3 — номер
портфеля. Постоянное значение доходности портфеля 1 обозначим r1. Об-
щая доходность
rt = w1r1 + w2rt
(2)
+ w3rt
(3)
(23)
Доходности rt
(2) и rt
(3) писываются логнормальной моделью (22), каждая
с соответствующими константами μ
i и σi . Эти константы будут зависеть от
сценария. Как уже говорилось выше, мы рассматриваем два сценария: уме-
ренно-оптимистический и умеренно-пессимистический. Выбранные значения
параметров модели в зависимости от сценариев даны в таблице. При под-
боре значений я руководствовался данными и соображениями, изложенны-
ми выше. В сущности, подбор таких параметров есть типичная для актуария
задача: оценить долгосрочные будущие инвестиционные доходности на ос-
нове имеющихся данных и тенденций рынка. В обычной актуарной прак-
тике делаются предположения о средних доходностях, здесь же мы еще оце-
ниваем волатильности.
Таблица 3. Значения параметров для различных инвестиционных сценариев.
Сценарий П1 П2 П3
r μ σ μ σ
Оптимистический 0,02 0,045 0,04 0,11 0,21
Пессимистический 0 0,03 0,05 0,06 0,24
Вряд ли можно считать доходности акций и облигаций независимыми.
В модели предполагается, что они коррелированы отрицательно. В пользу
отрицательности корреляции можно привести следующее соображение. Рос-
сийский рынок ценных бумаг является слабым в том смысле, что на нем не
так много долгосрочных российских инвесторов — тех инвесторов, которые
ни при каких условиях не уходят с рынка и “терпят” снижение доходности,
если таковое происходит. Цены рынка в значительной степени зависят от
спекулятивных инвестиций зарубежных инвесторов. При этом западные ин-
весторы рассматривают все российские бумаги — и акции, и облигации —
как достаточно рисковые. Так, на начало 2004 года наивысшие кредитные
рейтинги S& P российских компаний (ТНК, “Газпром”) были на уровне
BB–. Кроме того, как уже сказано, основу капитализации рынка составля-
ют бумаги сырьевых (в частности, нефтегазовых) компаний. По этим при-
чинам цены на российском рынке сильно зависят от внешних факторов, в
частности, от цен на нефть, а также от притока/оттока внешнего капитала.
Что касается российского капитала, то он тоже, как уже сказано, в основ-
ном спекулятивный, т.е. тоже имеет свойство “утекать” с рынка при невы-
годных условиях. При оттоке капитала с рынка цены как на акции, так и на
облигации падают. Однако в рассматриваемом нами “спокойном” общем
сценарии дефолты крупных российских компаний по облигациям являют-
ся маловероятными. Поэтому падение цен акций ведет к снижению их до-
ходности, а падение цен облигаций — к росту их доходности.
Все эти рассуждения лучше всего применимы тогда, когда в портфеле
преобладают краткосрочные облигации. В этом случае фонд вынужден пе-
риодически переразмещать свои средства в облигации. Если, скажем, име-
ются благоприятные экономические ожидания, то цены облигаций и акций
высоки, поэтому фонд переразмещает “облигационную” часть портфеля
под более низкий процент. Средства же части, вложенной в акции, нет не-
обходимости переразмещать, поэтому при ожиданиях экономического рос-
та акции растут, принося высокую доходность на уже размещенные в них
средства. Если же экономические ожидания неблагоприятны, рост на рын-
ке акций должен быть вялым, тогда и облигации стоят меньше, и средства
переразмещаются в них под более высокий процент. В настоящее время на
российском рынке доминируют именно краткосрочные облигации, сроки
до погашения большинства облигаций составляют не более 2—4 лет.
Можно привести и другие соображения в пользу отрицательности кор-
реляции доходностей облигаций и акций. Например, как отмечают Дэйкин
и др. (Daykin et al., 1994), рост процентных ставок приводит к удорожанию
займов для компаний, что в свою очередь ведет к снижению ожидаемых ин-
весторами дивидендов, а это — к понижению цен акций. Правда, при этом
должно наблюдаться некоторое повышение мгновенной дивидендной до-
ходности акций. Однако для долгосрочного инвестора общая отдача от ак-
ций, по-видимому, должна снижаться.
К сожалению, мы вынуждены ограничиться этими эвристическими со-
ображениями по причине недостаточности статистических данных. По име-
ющимся данным можно оценить корреляции доходностей за короткие пе-
риоды, например, месячные корреляции. Однако это вряд ли прольет свет
на картину годовых корреляций, так как повышение/понижение доходнос-
ти облигаций реализуется (в форме приращений индекса — цены пая в пор-
тфеле облигаций) не мгновенно, а в течение достаточно долгих сроков.
Предположим, что стандартно нормальные величины ε(2) и ε(3) коррели-
рованы с коэффициентом корреляции ρ = –0,5. Это предположение осно-
вано только на соображениях, представляющихся автору разумными. Так,
при повышении доходности с непрерывным начислением портфеля обли-
гаций на 1% снижение доходности с непрерывным начислением портфеля
акций составит в среднем σ
σ 3 ρ
2
процентов, т.е. при оптимистическом сце-
нарии 2,625%, а при пессимистическом — 2,4%.
Комбинируя два рассматриваемых портфеля (20-70-10 и 20-40-40) и два
сценария (оптимистический и пессимистический), мы получаем четыре ва-
рианта или четыре набора параметров модели инвестиционной доходности.
Применяя формулы для моментов логнормального распределения, из (23)
нетрудно вычислить средние доходности и дисперсии доходностей. Сред-
няя доходность портфеля имеет вид
r w r w e w e= + μ +σ / − + μ +σ / − . (24)
Дисперсия доходности
2 2 2 2
2 2 2 3 3 3
2 2
2 3 2 3 2 3
22 22
2 3
2 2
2 3
( ) ( 1) ( 1)
2 1
t Var r w e e w e e
w w e e
μ σ σ μ σ σ
μ μ σ σ ρσ σ
+ +
+ + / + /
= − + − +
+ 􀂪􀂬 −􀂺􀂼. (25)
Последний член в этом выражении представляет собой умноженную на
2w2w3 ковариацию доходностей r(2) и r(3). Видно, что при отрицательном ρ до-
ходности отрицательно коррелированы и общая волатильность портфеля
меньше.
Таблица 4 Величины средних и среднеквадратичных отклонений доходностей (“обычных”,
а не логарифмических) для четырех наборов параметров модели.
Сценарий Портфель
20-70-10 20-40-40
Ср. дох. С.к.о. дох. Ср. дох. С.к.о. дох.
Оптимистический 0,0509 0,0273 0,0792 0,0898
Пессимистический 0,0315 0,0327 0,0498 0,0980
Четыре получившихся при сочетании портфелей и сценариев набора па-
раметров будем для удобства называть инвестиционными сценариями (ИС) и
обозначать цифрами, как показано в таблице.
Таблица 5 Обозначения для инвестиционных сценариев (ИС).
20-70-10 20-40-40
Оптимистический ИС1 ИС2
Пессимистический ИС3 ИС4
На рисунке 11 показаны результаты имитаций случайных доходностей
при этих четырех наборах параметров.
4.3. Сравнение вариантов фондирования
Выше было проведено сравнение вариантов фондирования пенсионной про-
граммы, обозначенных A — D, в детерминированных сценариях инвести-
ционной доходности. Из полученных результатов можно было сделать ка-
чественный вывод о том, что фондирование по типу B (конечное или еди-
новременное фондирование) порождает большие колебания уровня пенси-
онных взносов, чем фондирование типов C и D.
Стохастическая модель позволяет более полно исследовать чувствитель-
ность различных методов к колебаниям инвестиционной доходности, а так-
же сравнить значимость этих колебаний при разных составах инвестицион-
ного портфеля и сценариях доходностей. Для сравнения значимости коле-
баний нужно ввести какую-либо меру (фактически — “меру риска”, в дан-
ном случае — инвестиционного). Дюфрень (1988, 1989), Хэберман (1994),
Овадалли и Хэберман (1999, 2000) исследовали инвестиционный риск в тер-
минах средних и дисперсий двух случайных величин: предельных (при боль-
ших горизонтах моделирования) значений годового пенсионного взноса и
уровня резерва. Выше была введена другая характеристика, NPV взносов.
В отличие от “предельного” уровня взноса, эта характеристика учитывает
всю “траекторию” уровня взносов по годам. Путем имитационного моде-
лирования мы получаем для каждого случая “пучок” таких траекторий уров-
ня взносов и резерва. Один пример показан на рис. 12.
Были промоделированы пенсионные планы типов A—D в инвестици-
онных сценариях ИС1—ИС4. Смертность, как и выше, предполагалась де-
терминированной и соответствующей актуарной таблице смертности, т.е.
популяция участников программы приближается к стационарной. Единс-
твенным фактором неопределенности поэтому оставалась инвестиционная
доходность.
При моделировании использовались постоянные актуарные ставки до-
ходности, приведенные в таблице.
Таблица 6 Актуарные ставки доходности iν.
% A, B C, D
ИС1 2 4
ИС2 4 7
ИС3 1 2
ИС4 2 4
Для программ C, D эти ставки, как видно из таблицы, примерно на 1%
ниже средних доходностей в соответствующих моделях. В упомянутых выше
работах Троубриджа, Дюфреня, Хэбермана и других изучалась модель, где
актуарные ставки были точно равны ожидаемым. На практике консерва-
тивность ставок может быть и большей, чем 1%. Ниже мы рассмотрим один
такой случай. Оказывается, что для нашей цели — изучения рисковых от-
клонений — ставки не должны быть слишком консервативными, во вся-
ком случае при первом моделировании, так как это несколько затемняет
результаты. Дело в том, что консервативность ставки порождает ответные
реакции системы; это есть отдельный фактор “возмущений”. Методология
исследования должна состоять в том, чтобы изучать реакции на возмуще-
ния последовательно. Поэтому мы сначала рассмотрим систему в услови-
ях актуарных ставок, близких к ожидаемым, а уже затем станем рассмат-
ривать эффекты “ошибок” или консервативности актуария в определении
ставки.
Для каждого случая было реализовано 500 имитаций. При этом исполь-
зовались одни и те же последовательности псевдослучайных чисел. Горизонт
моделирования составлял 80 лет. Результаты для случайных NPV взносов за
80 лет, взноса за последний год и конечного значения резерва (промодели-
рованного только для ИС1) приведены в таблице (в млн. руб.). NPV взносов,
как и выше, рассчитывались по дисконтной ставке 2%.
Соотношение между средними NPV получилось таким, как ожидалось:
наибольшие затраты возникают в “страховой” программе A, наиболее эко-
номически эффективен план с наибольшим уровнем фондирования C (аг-
регированный метод фондирования), план D (unit-credit метод фондирова-
ния) ненамного “хуже” по этому показателю, а план с единовременным
фондированием B значительно хуже, но все же значительно лучше, чем A.
Что касается “разброса” результатов вокруг средних значений, то полу-
ченные оценки неоднозначны и вызывают некоторую неудовлетворенность.
Действительно, если мы оцениваем среднеквадратичное отклонение взно-
са в достаточно удаленный по времени год (подход, применявшийся, в час-
тности, Овадалли и Хэберманом (2000)), то мы видим, что, как можно было
ожидать, это отклонение больше для B, чем для C и D. Однако если мы пос-
мотрим на отклонение NPV взносов, то оно для B оказывается стабильно
меньшим! (То же самое, кстати, верно и для резерва 80-го года, но этот эф-
фект предсказуем и почти очевиден: план B “мгновенно” — взносом того
же года — погашает возникающие отклонения резерва от плановых значе-
ний, в отличие от планов C и D, где таковое погашение “раскладывается”
на годы.)
Более того, результаты для отклонения зависят, как оказывается, от ак-
туарной доходности. Ниже, для примера, показаны результаты моделиро-
вания для ИС2 и актуарной доходности, равной 6%, а не 7%.
Таблица 8 Результаты моделирования для ИС2 и актуарной доходности 7% (500
имитаций в каждом случае).
NPV взноса Взнос, t = 80
Среднее С.к.о. Среднее С.к.о.
C 61,17 160,57 –10,38 14,45
D 121,76 104,03 –2,19 8,98
Мы видим, что отклонения значительно возрастают. Особенно это за-
метно для агрегированного метода (случай C), для которого отклонение ста-
новится уже большим, чем его значение для плана B в таблице.
Мы оцениваем среднеквадратичное отклонение или дисперсию отдельно
взятого взноса (например, для 80-го года) либо среднеквадратичное откло-
нение или дисперсию суммы (дисконтированной) взносов. Получены не-
сколько парадоксальные результаты: отдельно взятый взнос для метода
B имеет большие колебания, а сумма взносов — меньшие колебания, чем
для методов C и D.
На мой взгляд, этот результат интересен сам по себе. Однако однознач-
ного ответа на вопрос о том, какой же метод обеспечивает большую стабиль-
ность взносов, мы все-таки не получили. Видимо, это говорит о том, что
применяемые нами методы анализа, и в частности меры риска, являются
грубыми и не вполне соответствуют своим задачам.
Ясно, что ни колебания отдельного взноса, ни колебания суммы взносов
не характеризует в полном смысле те преимущества, которых компания-ра-
ботодатель ждет от “хорошего” метода фондирования. С точки зрения ком-
пании, хорошим был бы метод фондирования, порождающий “гладкие”
траектории взносов, или наиболее предсказуемые взносы. То есть мерой рис-
ка, вместо дисперсии или с.к.о. отдельного взноса или их суммы, по-види-
мому, должна быть некая “потраекторная” мера, измеряющая гладкость от-
дельной случайной траектории, усредненная по траекториям.
Может оказаться, что дисперсия не дает адекватного представления о
разбросе значений. Поэтому, в частности, имеет смысл более подробно рас-
смотреть распределения исследуемых величин — NPV взносов и взноса 80-
го года.
Чтобы представить вид распределений, на рис. 13 показаны гистограм-
мы NPV взносов (слева) и взноса 80-го года (справа), соответственно, для
методов B (вверху), C (в середине) и D (внизу) при ИС4 (т.е. в ситуации,
когда волатильность наибольшая). Гистограммы даны без соблюдения мас-
штаба, в частности, по оси X масштаб разный. Они не дают, таким образом,
представления о сравнительных количественных характеристиках распре-
делений, таких, как, например, какие-то характеристики разброса; они пред-
назначены для того, чтобы судить об общем виде распределений. Для срав-
нения показаны кривые нормальной плотности.
Гистограмма распределения NPV взноса в плане B (слева вверху) наибо-
лее симметрична и близка к нормальному распределению (хотя эмпиричес-
кое распределение, по-видимому, более островершинно). Сравнивая эту
гисторамму с гистограммами NPV взносов в планах C (слева в середине) и
D (слева внизу), можно отметить, что для метода C характерен более длин-
ный и тяжелый левый хвост (т.е. с небольшой вероятностью взносы могут
быть совсем маленькими в сумме); для метода D это явление тоже присутс-
твует, но не так выражено.
Похожие вещи можно сказать и о распределениях взноса 80-го года (спра-
ва, в том же соответствии). Хвост для распределения в плане C наиболее тя-
жел и длинен. Здесь такой левый хвост появляется и для плана B. Эти хвос-
ты, конечно, связаны с благоприятными значениями инвестиционных до-
ходностей для отдельных лет.
Вообще же нужно сказать, что изучение такого рода распределений пред-
ставляет интересную задачу, но должно основываться на более точных ин-
вестиционных моделях, чем использованная здесь грубая модель. Вид рас-
пределений взносов тесно связан с видом используемой стохастической мо-
дели. В частности, существование левых хвостов у распределений и отсутс-
твие правых объясняется тем, что логнормальная инвестиционная модель
“не симметрична”, в частности, допускает “выбросы” значений инвести-
ционных доходностей в сторону больших доходностей, но не допускает их
в сторону малых.
Поскольку с точки зрения оценок риска важны в первую очередь откло-
нения в сторону больших значений взносов, представляет интерес сравне-
ние, вместо с.к.о., каких-либо характеристик, учитывающих только откло-
нения в одну (правую) сторону. В следующей таблице приведены значения
медиан, верхних квартилей (т.е. 0,75-квантилей) эмпирических распреде-
лений, а также разности этих квартилей и медиан, которые можно рассмат-
ривать как характеристики величины отклонений.
Таблица 9. Верхние квартили и медианы распределений, показанных на рис. 13.
NPV взноса Взнос, t = 80
B C D B C D
Медиана 380,3 333,9 319,5 10,6 1,8 3,8
Верхний квартиль 417,9 405,5 389,5 19,6 7,2 10,4
Разность 37,6 71,6 70,0 9,0 5,3 6,7
Из этих данных ясно видно то же, что следовало и из сравнения с.к.о.:
отклонения для NPV в плане B меньше, а для взноса 80-го года — больше,
чем для планов C и D.
4.4. Рандомизация смертности
Выше предполагалось, что численность возрастных когорт участников пен-
сионной программы является детерминированной (неслучайной) и меня-
ется по закону (11) по мере “старения” когорты. Введем теперь стохасти-
ческую модель смертности, обобщающую (11). Будем моделировать изме-
нение размера возрастной когорты при старении ее членов на год в виде
s(τ+1,x+1)=s(τ,x)−Dx , (26)
где Dx — число умирающих за год, теперь случайное.
Если предполагать, что смерти каждого из членов когорты равновероят-
ны и независимы, то Dx должно иметь биномиальное распределение с па-
раметрами s = s(τ, x) и q = qx = 1– px, где px — вероятность дожития в течение
года.
Следует различать истинную и актуарную (оценочную) вероятности до-
жития. Будем обозначать их соответственно через px и pˆx. В предыдущем
разделе мы считали их одинаковыми, px = pˆx. Это соответствует случаю, ког-
да актуарий точно оценивает будущую смертность. То же самое предполо-
жение будет сделано в этом разделе. Ниже мы рассмотрим также случай,
когда оценка смертности актуарием расходится с реальной смертностью.
Для ускорения имитаций смертность моделировалась нормальной либо
пуссоновской случайной величиной. Было принято следующее эмпиричес-
кое правило: в случае sq2,6 < 0,3 величина Dx моделировалась пуассоновской
величиной с параметром q.s, в противном случае — в виде
Dx =qs+ sq(1−q)⋅ξ,
где ξ — стандартно нормальная случайная величина. Это правило было по-
лучено численной подгонкой.
В рамках данной работы в качестве основной таблицы смертности ис-
пользовалась сглаженная с учетом закона Гомпертца таблица для России
(все население), построенная по данным “Демографического ежегодника”
Госкомстата за 1997 год. Будем называть ее “базовой таблицей” и таблицей
“Россия-97”. Для сравнения производились расчеты и с некоторыми дру-
гими таблицами (см. ниже).
4.5. Сравнительный анализ влияния факторов риска
Риск смертности (продолжительности жизни) является, наряду с инвести-
ционным риском, важнейшим видом актуарного риска. Применим постро-
енную модель смертности для анализа сравнительной важности риска смер-
тности на фоне инвестиционного риска, моделируемого описанной выше
инвестиционной моделью.
Будем предполагать, что смертность описывается базовой таблицей “Рос-
сия-97”. Для анализа был выбран инвестиционный сценарий ИС1 как сце-
нарий, в котором волатильность портфеля минимальна.
В следующей таблице приводятся результаты моделирования для четы-
рех вариантов пенсионного плана (A — D). При каждом варианте модели-
ровались взносы и резервы в трех ситуациях:
• (1) при случайной смертности и неслучайной (равной своему математи-
ческому ожиданию) инвестиционной доходности;
• (2) при неслучайной смертности и случайной инвестиционной доходнос-
ти;
• (3) при случайной смертности и случайной инвестиционной доход-
ности.
Актуарная доходность была такой же, как и выше: 0,02 для планов A и B
и 0,04 для C и D. В каждом эксперименте проводилось 500 имитаций, при-
чем использовались одни и те же наборы случайных чисел. Значения в таб-
лице в миллионах рублей. Под каждой строчкой абсолютных значений при-
ведены относительные значения в процентах, при этом за 100% бралось пос-
леднее и наибольшее из каждых трех значений с.к.о, соответствующее слу-
чаю 3 (случайная смертность, случайная доходность). Средние числа
участников различных возрастов, как и выше, были рассчитаны исходя из
численности стационарной популяции, равной 5000 участников, с округле-
нием до целых (в начальный момент 3696 работников, 0 пенсионеров).
Таблица 10 Сравнительное влияние риска инвестиционной доходности
и риска смертности (средняя предельная численность участников
5000, 300 имитаций в каждом случае).
С.к.о. NPV взноса С.к.о. взноса, t = 80 С.к.о. F(t), t = 80
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A 0 0 0 0 0 0 79,4 848 882
B – – – – – – 9,0% 96,2% 100%
C 1,1 1,7 2,1 0,40 0,47 0,61 1,0 0,47 1,13
D 53,6% 84,1% 100% 65,6% 77,0% 100% 92,0% 41,6% 100%
Эти данные довольно убедительно показывают, что инвестиционный риск
имеет более существенное значение по сравнению с риском смертности, даже
при том, что моделирование проводилось для ИС1, т.е. ситуации, когда доля
акций в инвестиционном портфеле всего 10%, а волатильность, в соответс-
твии с оптимистическим сценарием, мала.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что для плана B значение
риска смертности более существенно, чем для планов C и D. Можно сказать
и наоборот: для планов C и D значение инвестиционного риска больше, чем
для плана B. При наложении колебаний доходности на колебания смерт-
ности, т.е. при переходе от первой колонки ко второй для каждой из трех
смоделированных характеристик, большее увеличение с.к.о. происходит для
планов C и D. Этот эффект, по-видимому, можно объяснить тем, что в пла-
не B фондирование пенсии осуществляется позже (при выходе на пенсию),
чем в планах C и D (в течение всей карьеры). Поэтому средний период на-
копления для плана B короче. Кажется довольно очевидным, что при боль-
шем периоде накопления роль инвестиционного риска должна возрастать.
С другой стороны, для всех планов B — D можно сказать, что с.к.о. ко-
лебаний взноса довольно мало отличаются для случая 2, когда имеется толь-
ко инвестиционный риск (популяция участников стационарна) и случая 3,
когда имеются еще и возмущения смертности (отклонения не превышают
6%). Это говорит о том, что приближение, использованное в указанных выше
работах Дюфреня, Хэбермана и др., где учитывался только инвестиционный
риск, в данном случае является достаточно оправданным.
Важно, однако, следующее соображение. Выводы о сравнительном вли-
янии колебаний смертности и доходности должны существенно зависеть от
численности участников пенсионного плана. Действительно, для всех пла-
нов — “больших” и “малых”-- влияние инвестиционного риска в расчете
на один рубль активов одинаково. Однако в “большом” плане на этот рубль
активов приходится большее число участников, поэтому относительное от-
клонение их численности от ожидаемой меньше, чем для малого плана (“эф-
фект закона больших чисел”). Можно сказать, что чем больше план, тем
риск смертности более диверсифицирован, следовательно, он меньше, тог-
да как инвестиционный риск постоянен.
В следующей таблице приведены результаты моделирования, аналогич-
ные приведенным выше, для плана со средними численностями поколений
участников, рассчитанными исходя из численности поколений в стацио-
нарной популяции с 500 участниками, с округлением до целых (в начальный
момент 368 работников, 0 пенсионеров), т.е. численность была уменьшена
в 10 раз (за счет округления — приблизительно).
Таблица 11 Сравнительное влияние факторов риска (средняя предельная численность
участников 500, 300 имитаций в каждом случае).
С.к.о. NPV взноса С.к.о. взноса, t=80 С.к.о. F(t), t=80
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A 0 0 0 0 0 0 25,6 88,0 90,5
B — — — — — — 28,3% 97,2% 100%
C 3,7 16,2 17,2 1,3 4,66 4,71 3,4 4,7 5,6
D 21,4% 94,4% 100% 27,4% 98,9% 100% 60,0% 82,8% 100%
Действительно, роль колебаний смертности при меньшем числе участ-
ников возрастает. Характер этого возрастания, однако, снова несколько раз-
ный для планов B и C, D. Можно, по-видимому, утверждать, что для плана
B рост значения риска смертности больше.
Данные позволяют уловить интересную закономерность. Если мы срав-
ним, например, значения в случае 1 для плана D, то мы увидим, что значения
с.к.о. NPV взноса и взноса 80-го года уменьшаются примерно в 3,36 раза, а
значение с.к.о. фонда 80-го года — в 3,16 раз. Нужно заметить, что эти отно-
шения близки к 10 = 3,1623. Именно в 10 раз должно уменьшаться с.к.о.
случайной численности участников при уменьшении численности всех воз-
растных когорт в 10 раз (в частности, в биномиальной модели смертности).
С другой стороны, для случая 2 происходит уменьшение соответствующих
значений почти ровно в 10 раз, т.е. пропорционально уменьшению “денеж-
ного” масштаба плана. Те же соотношения имеют место для других планов
(приближенно). Должно иметься аналитическое объяснение этому эффекту.
4.6. Ошибки в оценке смертности и их роль
Напомним, что выше мы рассмотрели сначала случай, когда актуарий в точ-
ности может предсказывать будущие нормы смертности и число умирающих
(это фактически предполагалось в модели стационарной популяции). Затем
мы ослабили это ограничение, введя (в предыдущем разделе) “риск смерт-
ности” в виде ее случайных колебаний. Однако по-прежнему предполага-
лось, что актуарий пользуется “правильной” таблицей смертности, т.е. вер-
ными оценками вероятностей смерти/дожития для различных возрастов.
Отклонения от этих средних значений определялись чисто случайными ко-
лебаниями (статистической ошибкой).
Логично сделать следующий шаг в исследовании риска смертности.
А именно, предположим, что реальные нормы смертности участников от-
личаются от предполагаемых актуарием, т.е., наряду со статистической, име-
ет место еще и модельная ошибка. В самом деле, наличие такой ошибки
следует предполагать. Одной из ее причин являются демографические из-
менения, которые сложно предсказать точно. Даже если актуарная таблица
хорошо отражает и прошлую статистику смертности для данного контин-
гента, и эти ожидаемые изменения, все равно в их предсказании неизбежны
ошибки. На практике же актуарии часто пользуются таблицами, которые
заведомо приблизительно описывают нормы смертности. В этом случае мо-
дельная ошибка заведомо присутствует.
Последнее особенно характерно для российской актуарной практики.
В настоящее время работы по наблюдениям за смертностью еще весьма ред-
ки — как в силу недостатка статистических данных, так и по причинам не-
распространенности актуарного опыта.
В этом разделе рассмотрим влияние риска ошибок в оценках норм смер-
тности на уровень взноса в пенсионную программу. В рассматриваемой здесь
модели актуарий пользуется для расчетов одной таблицей смертности (на-
зовем ее актуарной таблицей смертности), а реальная смертность случайна,
причем вероятности смерти описывается другой, отличной от актуарной,
таблицей смертности (назовем ее таблицей реальной смертности).
Как мы уже видели, ошибка актуария в оценке доходности (отклонение
актуарной доходности от реальной средней) является дополнительным “воз-
мущением” для системы, приводя к росту с.к.о. взноса. Аналогичного эф-
фекта следует ожидать в случае использования “неправильной” таблицы
смертности. Для тестирования эффекта выберем инвестиционный сцена-
рий 2 (ИС 2). Наличие эффекта было протестировано для двух различных
таблиц “реальной” смертности:
(а) Таблицы смертности для городского населения России 1986–87 (“Рос-
сия-87”). Как известно, наиболее благоприятная демографическая ситуация
(высокая продолжительность жизни) наблюдалась в России в середине
80-х годов. Поэтому эта таблица является одной из наиболее консерватив-
ных российских таблиц. С другой стороны, исследования автора, проведен-
ные по данным некоторых НПФ, показали (несколько неожиданно) соот-
ветствие смертности именно этой таблице.
(б) Таблицы смертности американского Общества актуариев RP-2000,
составленной по данным о смертности участников корпоративных пенси-
онных планов в США (SOA, 2004).
Так как наша упрощенная модель не учитывает различия по полам, на
основе всех таблиц были построены сводные таблицы, исходя из предполо-
жения о равном числе родившихся мужчин и женщин. Кроме того, по таб-
лице RP-2000, дифференцированной по группам участников, была состав-
лена сводная таблица смертности здоровых работников и пенсионеров.
Актуарная таблица остается той же, что и выше — это таблица “Россия-
97”. Из трех рассматриваемых таблиц эта таблица — наименее консерватив-
ная, а таблица RP-2000 — наиболее консервативная. Об этом говорят, на-
пример, данные о средней продолжительности жизни:
“Россия-97” — 64,8 года;
“Россия-87” — 70,02 года;
RP-2000 — 80,56 года.
Таблица 12 Результаты моделирования при несовпадении реальной смертности
с актуарными предположениями (актуарная таблица — “Россия-97”).
ИС2, средняя предельная численность участников 5000, 300 имитаций
в каждом случае, актуарные ставки соответствуют таблице 6.
“Россия-97”
(расчет)
“Россия-87” RP-2000
B, NPV взноса
Среднее
С.к.о.
275,56
49,21
319,93
54,33
483,14
70,76
B, взнос 80-го года
Среднее
С.к.о.
5,41
12,44
6,76
15,86
13,42
21,91
B, резерв 80-го года
Среднее
С.к.о.
154,52
12,65
194,08
16,03
265,99
21,89
C, NPV взноса
Среднее
С.к.о.
173,97
127,17
228,00
126,23
486,80
119,97
C, взнос 80-го года
Среднее
С.к.о.
– 1,93
8,53
–1,02
9,19
14,63
7,22
C, резерв 80-го года
Среднее
С.к.о.
262,75
79,23
299,94
84,03
233,46
65,06
D, NPV взноса
Среднее
С.к.о.
180,35
92,10
222,20
96,57
430,73
106,43
“Россия-97”
(расчет)
“Россия-87” RP-2000
D, взнос 80-го года
Среднее
С.к.о.
0,84
8,25
1,24
8,86
9,82
10,98
D, резерв 80-го года
Среднее
С.к.о.
220,92
44,18
263,09
47,91
292,53
58,10
Результаты для планов B и D подтверждают высказанное выше предпо-
ложение: действительно, оказывается, что неверная оценка смертности иг-
рает роль дополнительного “возмущения” в системе. С.к.о. последователь-
но растут при переходе к более сильно несовпадающим с актуарной табли-
цам смертности. В данном случае оценка — недостаточно консервативная,
однако и слишком консервативная оценка играет такую же роль. Результат
для метода C, однако, несколько неожиданный: система ведет себя нерегу-
лярно.
Следующий вопрос имеет практическое значение: может ли актуарий
компенсировать неверную оценку смертности, применяя консервативную
оценку инвестиционной доходности? Такой метод часто применяется на
практике в России, особенно когда нормы смертности трудно оценить за
недостатком статистических данных. Однако бывают случаи, когда актуа-
рии и не стремятся точно оценивать смертность, считая, что консерватизм
в оценке доходности дает достаточный запас в оценке обязательств. Поп-
робуем оценить, к каким общим последствиям приводит этот метод.
Интересно исследовать поведение системы при применении актуарных
базисов, “эквивалентных” с точки зрения оценки обязательств. Проведем
исследование для плана B. Возьмем следующие примерно “эквивалентные”
базисы с точки зрения оценки совокупности аннуитетов или общего APV
всех пенсий (на первом месте актуарная норма доходности, на втором — ак-
туарная таблица смертности):
(3%, “Россия-97”) — APV пенсий участников на момент 0 равно в этом
базисе 268,32 млн.;
(3,63%, “Россия-87”) — APV пенсий 268,32;
(4,84%, “RP-2000”) — APV пенсий 268,90.
Будем считать, что опыт описывается доходностью согласно ИС1 и смер-
тностью согласно таблице “RP-2000”. Тогда наиболее соответствующим опы-
ту является третий базис. Первые два базиса соответствуют случаю, когда
консервативность нормы доходности компенсирует ошибку в оценке смер-
тности.
Нужно сказать, что хотя таблица “RP-2000”, конечно, слишком кон-
сервативна для российских пенсионных программ в целом (или в среднем),
однако нельзя исключить того, что смертность участников отдельных про-
грамм может соответствовать этой таблице или другим “западным” таб-
лицам.
На рис. 14 приведены средние взносы для трех базисов. То, что даже сред-
ние взносы сильно колеблются, говорит снова не в пользу плана B. Видно,
что применение первых двух базисов приводит к занижению требуемых взно-
сов на начальном этапе по сравнению с “правильным” третьим базисом.
В случаях базисов 1 и 2 наблюдается “хроническое” недофондирование пла-
на. Взносы на начальном этапе занижены, зато потом, из-за дефицита, они
больше, чем при “правильном” базисе. Средний резерв 80-го года таков:
(3%, “Россия-97”) — 279,42 млн.;
(3,63%, “Россия-87”) — 261,72 млн.;
(4,84%, “RP-2000”) — 310,88 млн.
В случаях 1 и 2, как видно из этих данных, действительно имеется недо-
фондирование.
Эти результаты служат хорошей иллюстрацией того, что для более
высокого качества управления пенсионной программой актуарий дол-
жен стремиться к наиболее точной оценке параметров опыта, в том чис-
ле, изучать статистические данные о смертности и строить таблицы смер-
тности. Нужно сказать, что в странах Запада эта необходимость давно
осознана. Применение “неточного” базиса, в котором неверная оценка
смертности “компенсируется” (как кажется актуарию) занижением до-
ходности, может приводить к неожиданным последствиям. Это снова
эффект “разрегулирования” системы управления. Все неточности в ак-
туарном управлении приводят к дополнительным возмущениям, эффек-
ты которых, как демонстрирует данное исследование, могут быть труд-
нопредсказуемы из-за того, что система является сложной, нелинейной,
содержит “обратные связи”. Поэтому актуарии должны стремиться к как
можно более точной “настройке” актуарного базиса, его соответствию
реальности.
Для сравнения такое же моделирование было проведено для плана D
(unit-credit метод фондирования). Результаты показаны на рис. 15. Как и
для плана B, применение базисов 1 и 2 приводит к недооценке требуемых
взносов и недофондированию.
При сравнении рис. 14 и рис. 15 снова бросается в глаза совершенно раз-
личное поведение взносов в смысле величины колебаний. На рисунках по-
казаны средние взносы; для плана B их колебания значительно выше, тогда
как для плана D траектория среднего взноса намного более гладкая. Этот
вопрос уже обсуждался в разделе 4.3, где были получены результаты, на пер-
вый взгляд противоречивые: дисконтированная сумма (NPV) взноса при ме-
тоде B колеблется меньше, а сами взносы — больше, чем при методе D. Здесь
мы видим то же самое (уже для средних взносов). Взнос при методе B быс-
трее “настраивается” на изменения обязательств.
Литература
Anderson, A.W. (1992) Pension mathematics for actuaries, 2nd ed.—Winsted,
Connecticut: Actex Publications.
Bédard, D., and Dufresne, D. (2001) Pension funding with moving average rates
of return.—Scandinavian Actuarial Journal, 101, 1—17.
Benjamin, S., Driving the pension fund.—J. of the Institute of Actuaries, 1989,
116, 717—735.
Berin, B.N. (1989) Fundamentals of Pension Mathematics.—Shaumburg,
Illinois: Society of Actuaries.
Bowers, N.L., Hickman, J.C., and Nesbitt, C.J. (1976) Introduction to the
Dynamics of Pension Funding.—Trans. Society of Actuaries, XXVIII, 177—203.
Davis, E. P. (2002) Prudent person rules or quantitative restrictions? The
regulation of long-term institutional investors’ portfolios.—Pensions Economics
and Finance, 2 (July), 157—191.
Daykin, C. D., Pentikäinen, T., and Pesonen, M. (1994) Practical risk theory
for actuaries.—Chapman and Hall.
CAS (1999) DRM Research Handbook.—Casualty Actuarial Society, www.
casact.org/research/drm.
Dufresne, D. (1988) Moments of pension fund contributions and fund levels
when rates of return are random.—J. of the Institute of Actuaries, 115, 535—544.
Dufresne, D. (1989) Stability of pension systems when rates of return are
random.—Insurance: Mathematics and Economics, 8, 71 –76.
Haberman, S. (1994) Autoregressive rates of return and the variability of pension
contributions and fund levels for a defined benefits pension scheme.—Insurance:
Mathematics and Economics, 14, 219—240.
Haberman, S., and Sung, J.-H. (1994) Dynamic approaches to pension
funding.—Insurance: Mathematics and Economics, 15, 151—162.
Haberman, S. (1997) Stochastic investment returns and contribution rate risk
in a defined benefit pension scheme.—Insurance: Mathematics and Economics,
19, 127—139.
Haberman, S., and Wong, L.Y.P. (1997) Moving average rates of return and the
variability of pension contributions and fund levels for a defined benefits pension
scheme.—Insurance: Mathematics and Economics, 20, 115—135.
Loades, D.H. (1992) Instability in pension funding.—Trans. Intern. Congress
of Actuaries, 2, 137—154.
Owadally, M.I., and Haberman, S. (1999) Pension fund dynamics and gains/
losses due to random rates of investment return.—North American Actuarial Journal,
3, 3, 105—118.
Owadally, M.I., and Haberman, S. (2000) Efficient Amortization of Actuarial
Gains/Losses and Optimal Funding in Pension Plans. –City Univercity of London,
Actuarial Research Paper No. 133.
SOA (2004) The RP-200 Mortality Tables.—Report of the SOA Pensions
Committee, www.soa.org.
Trowbridge, C.L. (1952) Fundamentals of pension funding. —Trans. Society
of Actuaries, IV, 17—43.
Wilkie, A. D. (1986) A stochastic investment model for actuarial use.—Trans.
Faculty of Actuaries, 39, 341—403.
Бауэрс, Н. Л., и др. (Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.
A., and Nesbitt, C.J.) (2001) Актуарная математика.—М.: Янус-К.
Шоломицкий, А.Г. (2002a) Обзор актуарных методов финансирования
накопительных пенсий.—М.: ЦЭМИ РАН, препринт # WP/2002/136.
Шоломицкий, А.Г. (2002б) Финансирование накопительных пенсий: ак-
туарные методы и динамические модели.—Обозрение прикладной и про-
мышленной математики, 9, 3, 544—577.
Шоломицкий, А.Г. (2003) Актуарные принципы построения негосударс-
твенных пенсионных схем.—Пенсионные фонды и инвестиции, 4.