А.Г. Шоломицкий, 2004 год
Опыт анализа смертности пенсионеров
по данным актуарного оценивания НПФ
(тезисы доклада)
А. Г. Шоломицкий
1. Введение. Таблицы смертности используются при расчетах тарифов пенсионных взносов, оценивании обязательств, резервируемых сумм и других актуарных расчетах. Заложенные в них нормы смертности поэтому оказывают влияние на тарифную политику, оценку обязательств, и в конечном счете на платежеспособность фондов. Вопрос о правильном определении норм смертности поэтому является практически важным.
Российские актуарии обычно пользуются общими таблицами Госкомстата, характеризующими смертность в среднем по России либо по какому-то региону за определенный период. Однако из актуарных исследований известно, что нормы смертности среди участников пенсионных программ и в группах застрахованных могут сильно отличаться от общих норм смертности. Кроме того, нормы смертности испытывают значительные колебания; например, российские таблицы середины 80-х и середины 90-х сильно отличаются.
На Западе для актуарных расчетов уже давно не пользуются общими таблицами. Западные актуарные общества и отдельные актуарии занимаются исследованием норм смертности и составлением специальных актуарных таблиц, предназначенных именно для актуарных расчетов. Это признано необходимым для надежности актуарных расчетов.
2. Методика. В данном анализе была использована методика, основанная на оценке так называемых грубых (центральных) норм смертности путем подсчета экспозиции риску смерти.
Рассмотрим некоторую совокупность участников (популяцию). Экспозицией риску смерти для возратной группы участников возрастов от до называется величина
(1)
где суммирование ведется по всем участникам в популяции, номер участника, момент начала наблюдения, момент окончания наблюдения данного участника.
Для определения моментов и удобно пользоваться Лексис-диаграммой (рис. 1).
Рис. 1. Лексис-диаграмма.
На горизонтальной оси лексис-диаграммы отложено время наблюдения, на вертикальной возраст участников. Наблюдение над каждым из участников изображается наклонной прямой линией. Проекции на ось времени точек пересечения этой линией границ прямоугольника, обведенного тонкой сплошной линией на рис. 1, дают моменты и . Смерти участников обозначены кружками. Общее число смертей внутри прямоугольника обозначим .
В качестве оценки нормы (силы) смертности берется грубая норма смертности
. (2)
Далее грубые нормы смертности сглаживаются каким-либо методом. Сглаженные нормы обозначаются через . В настоящем анализе было использовано сглаживание по закону Гомпертца.
Получив сглаженные нормы смертности, мы рассчитываем вероятности смерти по формуле (например)
(3)
Более подробно методики оценки смертности описаны, например, в [1, 2].
2. Данные. Участниками рассматриваемого НПФ в 2003 году были в основном работники и ветераны горно-обогатительных комбинатов, большинство из которых имело право на досрочные (льготные) пенсии в связи с вредными условиями труда, а также в связи с нахождением крупнейшего предприятия в "чернобыльской зоне". Были обработаны данные по пенсионерам фонда (2003 март 2004). В связи с тем, что пенсии были назначены также ветеранам труда, удалось оценить смертность в разных возрастных группах. Общее число смертей в возрастах 55 и старше составило 260. Данные приведены в нижеследующих таблицах.
Мужчины
Возр. группа Число см., D Экспозиция, E Норма см., D/E LN(D/E)
55 60 15 386,3536895 0,038824529 -3,2487
60 65 25 791,6725205 0,031578714 -3,45527
65 70 55 926,12021 0,059387539 -2,82367
70 75 39 595,538137 0,06548699 -2,7259
75 80 27 271,6612146 0,099388498 -2,30872
80 85 9 56,19442009 0,16015825 -1,83159
Всего 170 3027,540192
Женщины
Возр. группа Число см., D Экспозиция, E Норма см., D/E LN(D/E)
50 55 5 584,362 0,00855634 -4,76108
55 60 8 621,2428493 0,012877412 -4,35228
60 65 11 946,8902557 0,011616975 -4,45529
65 70 18 923,8876804 0,019482888 -3,93822
70 75 21 570,7463927 0,036793925 -3,30242
75 80 17 309,6030411 0,054909021 -2,90208
80 85 10 65,0823653 0,153651453 -1,87307
Всего 90 4021,814584
На рис. 2 и 3 синяя линия проходит через точки, координатами X которых являются середины возрастных интервалов (т.е. 52,5; 57,5 и т.д.), а координатами Y натуральные логарифмы норм смертности в соответствующих группах ([50,55]; [55,60] и т.д.). Согласно закону Гомпертца, эти ломаные должны приближаться прямыми линиями. На рис. 2 и 3 сиреневая линия приближение по Гомпертцу, желтая "пессимистическое" приближение по Гомпертцу, использованное при построении таблиц смертности. Это приближение соответствует увеличению периода дожития примерно на 2 года для мужчин и женщин. Приближение довольно грубое (в принципе, должен меняться также угол наклона прямой).
Рис. 2. Приближение данных о смертности (мужчины).
Рис. 3. Приближение данных о смертности (женщины).
Из рис. 2 и 3 видно, что закон Гомпертца дает в принципе неплохое приближение для смертности пенсионеров, за исключением наиболее ранних возрастных групп (до 60 лет), где смертность выше. Это явление можно объяснить селекцией: среди пенсионеров до 60 много лиц со слабым здоровьем. Отклонение вверх для последней возрастной группы у женщин, возможно, является статистической ошибкой, т.к. число умерших в этой группе невелико всего 10.
3. Таблицы и их сравнение со стандартными. За значения логарифмов сглаженных норм для были приняты значения, соответствующие точкам на желтых прямых. Затем по формуле (3) были рассчитаны , и по ним построены таблицы смертности. Таблицы приводятся ниже.
Мужчины (консерв.)
x mu(x) q(x) l(x)
55 0,013836 0,01374 100000
56 0,015011 0,014898 98625,9531
57 0,016285 0,016153 97156,5761
58 0,017668 0,017513 95587,1777
59 0,019168 0,018986 93913,1749
60 0,020796 0,020581 92130,1668
61 0,022562 0,022309 90234,0225
62 0,024478 0,02418 88220,9807
63 0,026556 0,026206 86087,7641
64 0,028811 0,0284 83831,7069
65 0,031257 0,030774 81450,8977
66 0,033912 0,033343 78944,335
67 0,036791 0,036123 76312,0952
68 0,039915 0,039129 73555,511
69 0,043304 0,04238 70677,3567
70 0,046982 0,045895 67682,0365
71 0,050971 0,049694 64575,7685
72 0,055299 0,053798 61366,76
73 0,059995 0,05823 58065,3613
74 0,065089 0,063016 54684,1908
75 0,070616 0,06818 51238,2165
76 0,076612 0,073751 47744,7815
77 0,083118 0,079757 44223,5589
78 0,090175 0,086229 40696,4211
79 0,097832 0,093199 37187,2098
80 0,10614 0,100701 33721,3959
81 0,115152 0,10877 30325,6207
82 0,12493 0,117442 27027,116
83 0,135538 0,126754 23853,0108
84 0,147047 0,136747 20829,5366
85 0,159534 0,147459 17981,1604
86 0,17308 0,15893 15329,6805
87 0,187777 0,171201 12893,3363
88 0,203722 0,184311 10685,9904
89 0,22102 0,1983 8716,44779
90 0,239788 0,213205 6987,9786
91 0,260149 0,229063 5498,10403
92 0,282239 0,245907 4238,68941
93 0,306205 0,263764 3196,36691
94 0,332206 0,28266 2353,27902
95 0,360415 0,302613 1688,10006
96 0,391019 0,323632 1177,25915
97 0,424221 0,345721 796,259874
98 0,460243 0,36887 520,976167
99 0,499324 0,393059 328,803724
100 0,541723 0,418255 199,56439
101 0,587723 0,444409 116,095564
102 0,637628 0,471455 64,5016599
103 0,691771 0,499312 34,0920018
104 0,750512 0,527875 17,0694719
105 0,81424 0,557024 8,05892254
106 0,88338 0,586617 3,56990781
107 0,95839 0,61649 1,47574055
108 1,03977 0,646464 0,56596076
109 1,128061 0,67634 0,2000874
110 1,223848 0,705904 0,06476035
Ср. пер-д дожития= 20,40
Женщины (консерв.)
x mu(x) q(x) l(x)
55 0,005144 0,00513 100000
56 0,005685 0,005668 99486,96
57 0,006282 0,006263 98923,02
58 0,006943 0,006919 98303,5
59 0,007673 0,007644 97623,32
60 0,00848 0,008445 96877,09
61 0,009372 0,009328 96059,01
62 0,010358 0,010305 95162,93
63 0,011447 0,011382 94182,32
64 0,012651 0,012572 93110,33
65 0,013982 0,013884 91939,79
66 0,015452 0,015333 90663,25
67 0,017077 0,016932 89273,07
68 0,018873 0,018696 87761,46
69 0,020858 0,020642 86120,63
70 0,023052 0,022788 84342,9
71 0,025476 0,025155 82420,86
72 0,028156 0,027763 80347,59
73 0,031117 0,030638 78116,89
74 0,03439 0,033805 75723,55
75 0,038006 0,037293 73163,72
76 0,042004 0,041134 70435,2
77 0,046421 0,04536 67537,95
78 0,051303 0,05001 64474,41
79 0,056699 0,055121 61250,08
80 0,062662 0,060739 57873,88
81 0,069252 0,066909 54358,67
82 0,076536 0,07368 50721,61
83 0,084585 0,081106 46984,44
84 0,093481 0,089244 43173,7
85 0,103312 0,098155 39320,69
86 0,114178 0,107901 35461,18
87 0,126186 0,118549 31634,9
88 0,139457 0,130169 27884,62
89 0,154124 0,142834 24254,89
90 0,170333 0,156616 20790,47
91 0,188247 0,17159 17534,35
92 0,208045 0,18783 14525,63
93 0,229925 0,205407 11797,29
94 0,254107 0,224391 9374,039
95 0,280832 0,244845 7270,587
96 0,310367 0,266822 5490,424
97 0,343009 0,290368 4025,457
98 0,379083 0,315511 2856,594
99 0,418952 0,342264 1955,306
100 0,463013 0,370616 1286,076
101 0,511709 0,40053 809,4359
102 0,565525 0,431938 485,2329
103 0,625002 0,46474 275,6422
104 0,690734 0,498792 147,5403
105 0,763379 0,533911 73,94836
106 0,843665 0,569869 34,46649
107 0,932394 0,60639 14,82511
108 1,030455 0,643155 5,835319
109 1,138828 0,679806 2,082303
110 1,2586 0,715949 0,666741
Ср. пер-д дожития = 26,27
На рис. 4 и 5 дано сравнение логарифмических норм смертности, полученных выше, с данными некоторых российских таблиц.
Рис. 4. Сравнение таблицы для мужчин со стандартными таблицами.
Рис. 5. Сравнение таблицы для женщин со стандартными таблицами.
Мы видим, что для женщин отличия сравнительно небольшие. Для мужчин данные несколько неожиданны: данные о смертности хорошо "ложатся" на таблицы середины 80-х, но не 2000-х годов.
4. Выводы. Данные этого анализа, как и других подобных исследований, показывают, что смертность участников и пенсионеров НПФ может сильно отличаться от данных стандартных таблиц . Кроме того, при построении консервативных актуарных таблиц необходимо учитывать прогнозируемое демографами увеличение продолжительности жизни.
В связи со всем этим, предлагается в рамках Коллегии пенсионных актуариев России вести работу по сбору статистических данных и построению российских актуарных таблиц смертности. Нужно отметить, что именно такая работа стала началом деятельности многих западных актуарных обществ и остается одной их из их важнейших задач сегодня.
Литература
Гербер Х. (1995) Математика страхования жизни (пер. с англ.). М.: Мир.
Хэберман С., Лафрум Г., Рейли Д. (ред.) (1996) Основы актуарной математики, модули 1,2 (пер. с англ.). Кемерово, Институт Актуариев Великобритании и Общество Сибирских Актуариев.
